В исследованиях методов построения оценок было показано, что практически все методы построения предпочтений экспертов можно свести к последовательным оценкам парных сравнений.При этом такие оценки удобно представить в виде матрицы парных сравнений следующего вида – рисунке 1, где элементы a
ij соответствуют степени предпочтения i–го элемента по отношению к j–му.
xjxi | x1 | x2 | x3 | ... | xn |
X1 | a11 | a12 | a13 | | a1n |
X2 | a21 | a22 | a23 | | a2n |
X3 | a31 | a32 | a33 | | a3n |
... | | | | | |
xn | an1 | an2 | an3 | | ann |
Рисунок 1 – Матрица парных сравненийПри этом считается заданным либо множество вариантов, либо множество характеристик вариантов (элементов) X={x
1,...,x
n}, которые сравниваются попарно с точки зрения их предпочтительности, важности, желательности и т.п. Матрица парных сравнений отражает бинарное отношение предпочтения/безразличия на множестве X.Такой матрице соответствует орграф G у которого дуга из вершины i в вершину j проводится в том случае, если элемент x
i превосходит x
j. Кроме того, дуга нагружается, иначе взвешивается соответствующим элементом a
ij. Такой граф не содержит кратных дуг.Симметричные элементы матрицы парных сравнений a
ij и a
ij должны выбираться равными, если соответствующие объекты равноценны или несравнимы (далее мы не будем различать эти случаи), если же x
i>x
j, то a
ij должно быть больше a
ji. Кроме этих условий, на элементы матрицы A обычно накладываются дополнительные калибровочные органичения, однозначно связывающие попарно симметричные элементы a
ij и a
ji. Рассмотрим основные типы таких калибровок.1) Калибровка простой структуры. (ПС): ж 1, если x
i>x
j;
A i,j, i<>j a
ij=н 0, если x
i<x
j; (1) и 1/2, если x
i~x
j;Диагональные элементы при этом обычно не фиксируются и могут быть любыми, но нередко дополнительно оговаривается, что A
i a
ii=1/2 (что позволяет считать ПС разновидностью упоминающейся далее турнирной калибровки).Интерпретация: a
ij – индикатор факта превосходства одного объекта над другим или их равноценности (несравнимости).2)Турнирная калибровка. (Т):
A i,j a
ij>=0; a
ij+a
ji=c. (2)Интерпретация: a
ij – число очков, набранных объектом (“игроком”) x
i во всех сравнениях (“встречах”) с x
j; число c=const при этом может интерпретироваться как количество таких сравнений (встреч). Нередко дополнительно постулируется целочисленность матрицы A.3)Степенная калибровка. (С):
A i,j a
ij>0; a
ij*a
ji=1. (3)Интерпретация: объект x
i превосходит в парном сравнении объект x
j в a
ij раз.4) Кососимметрическая калибровка. (К):
A i,j a
ij+a
ji=0. (4)Интепретация: объект x
i превосходит в парном сравнении объект x
j на a
ij.5)Вероятностная калибровка. (В):
A i,j 0<=a
ij<=1; a
ij+a
ji=1. (5)Интерпретация: a
ij – вероятность превосходства x
i над x
j.При использовании ограничений – калибровок, количество парных сравнений уменьшается с n
2 до n(n–1)/2, что очень важно с точки зрения стоимости и времени проведения экспертизы.Отметим, что в МАИ используется степенная калибровка матрицы парных сравнений.