Методические указания. Предприятие может выпускать три вида продукции – П1, П2 и П3, получая при этом прибыль, зависящую от спроса

Рассмотрим задачу.

Предприятие может выпускать три вида продукции – П₁, П₂ и П₃, получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырех состояний – B₁, B₂, B₃, B₄. Дана матрица, ее элементы a_ij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции при j-м состоянии спроса.

Продукция	Состояние спроса
B1	B2	B3	B4
П1
П2
П3

Определить оптимальные объемы выпускаемой продукции, гаранти­рующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

Ознакомимся с основными понятиями теории игр.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, – игроками, а исход конфликта – выигрышем.

Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, опреде­ляющая:

1) варианты действий игроков;

2) объем информации о поведении партнеров, которой владеет каждый игрок;

3) выигрыш, к которому при­водит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проиг­рыш) может быть задан количественно.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множе­ственной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать толь­ко парные игры. В них участвуют два игрока: А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны игроков А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного "задания" игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока. Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока.

Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяю­щих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сло­жившейся ситуации. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число шагов.

Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока вы­брать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей страте­гии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игро­ков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно пола­гать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Матрица, элементы которой характеризуют прибыль первого игрока при всех возможных стратегиях, называется платежной матрицей игры.

Рассматриваемая задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей

	B1	B2	B3	B4	αi
A1
A2
A3
βj

Обозначим через a_i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А. для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е. a_i = min a_ij.

Среди всех чисел a_i (i = 1, 2,..., m) Выберем наибольшее: α = max α_i. Назовем α нижней ценой игры или максимальным выигрышем (максими-ном). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно, α = max min a_ij.

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А. Выбирая стратегию B_j, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для игрока А. Обозначим β_j = max a_ij

Среди всех чисел β_j выберем наименьшее: β = min β_j и назовем β верх­ней ценой игры или минимаксным выигрышем. Это гарантированный проигрыш игрока В.

Следовательно, β = min max a_ij. Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" мини­максной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цену игры и соответствующие стратегии в задаче: α = 4, β = 6. Так как , то седловая точка отсутствует и оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков.

Смешанной стратегией S_A игрока А называется применение чистых стратегий A₁, A₂, …, A_i, …, A_m c вероятностями p₁, p₂, …, p_i, …, p_m, причем
сумма вероятностей равна 1: . Смешанные стратеги игрок А записываются в виде строки S_A = (p₁, p₂, …, p_i, …, p_m).

Аналогичн смешанные стратегии игрока В обозначаются в виде строки S_B = (q₁, q₂, …, q_i, …, q_m), где сумма вероятностей появления стратегий равна 1: .
Итак, S_A^* = (p₁, p₂, p₃) и S_B^*= (q₁, q₂, q₃, q₄).

Обозначив x_i = p_i /v, i= 1, 2, 3, 4 и y_j = p_j,/v, j = 1, 2, 3, 4, составим пару двойственных задач линейного программирования:

Например:

прямая задача

двойственная задача

Приведем математическую модель задачи к каноническому (стандартному) виду и решим симплексным методом. Из симплексной таблицы с оптимальным решением возмем значения параметров (-Z), x_i и вычислим цену игры v, и вероятности применения стратегий p_i. Сделать анализ решения.