Пример решения задачи с бесконечным числом этапов методом полного перебора

Формулировка задачи:

Мебельный магазин планирует свою работу на неопределенный период, при этом директору магазина необходимо решить: какие меры по стимулированию спроса, в зависимости от состояния дел, следует предпринять для увеличения объема продаж. Рассматриваются следующие варианты стимулирования спроса:

1. 3% скидка при следующей покупке;

2. Бесплатная доставка;

4. Не предпринимать ничего.

Кроме того, фирма оценивает месячный объем продаж по трехбалльной шкале как:

1. отличный;

2. хороший;

3. удовлетворительный.

В данной задаче принятия решений имеется 3³= 27 стационарных стратегий поведения, представленных в следующей таблице.

s	Действия
	Не предпринимать никаких мер по стимулированию спроса.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке независимо от объема продаж.
	Организовать бесплатную доставку независимо от объема продаж.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 1.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 2.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 3.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 1 или 2.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 1 или 3.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 2 или 3.
	Организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 1.
	Организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 2.
	Организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 3.
	Организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 1 или 2.
	Организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 1 или 3.
	Организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 2 или 3.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 1, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 2.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 1, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 3.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 2, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 3.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 2, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 1.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 3, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 1.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 3, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 2.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 1 или 2, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 3.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 1 или 3, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 2.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 1, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 2 или 3.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 2 или 3, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 1.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 2, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 1 или 3.
	Предложить 3% скидку при следующей покупке, если объем продаж на уровне 3, и организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 1 или 2.

Матрицы P^S и R^S:

1.
P₁ =				R₁ =
	0,3	0,3	0,4
	0,1	0,7	0,2
	0,05	0,2	0,75
2.
P₂ =				R₂ =
	0,4	0,5	0,1
	0,1	0,6	0,3
		0,2	0,8
3.
P₃ =				R₃ =
	0,3	0,6	0,1
		0,4	0,6
		0,2	0,8
4.
P₄ =				R₄ =
	0,4	0,5	0,1
	0,1	0,7	0,2
	0,05	0,2	0,75
5.
P₅ =				R₅ =
	0,3	0,3	0,4
	0,1	0,6	0,3
	0,05	0,2	0,75
6.
P₆ =				R₆ =
	0,3	0,3	0,4
	0,1	0,7	0,2
		0,2	0,8
7.
P₇ =				R₇ =
	0,4	0,5	0,1
	0,1	0,6	0,3
	0,05	0,2	0,75
8.
P₈ =				R₈ =
	0,4	0,5	0,1
	0,1	0,7	0,2
		0,2	0,8
9.
P₉ =				R₉ =
	0,3	0,3	0,4
	0,1	0,6	0,3
		0,2	0,8
10.
P₁₀ =				R₁₀ =
	0,3	0,6	0,1
	0,1	0,7	0,2
	0,05	0,2	0,75
11.
P₁₁ =				R₁₁ =
	0,3	0,3	0,4
		0,4	0,6
	0,05	0,2	0,75
12.
P₁₂ =				R₁₂ =
	0,3	0,3	0,4
	0,1	0,7	0,2
		0,2	0,8
13.
P₁₃ =				R₁₃ =
	0,3	0,6	0,1
		0,4	0,6
	0,05	0,2	0,75
14.
P₁₄ =				R₁₄ =
	0,3	0,6	0,1
	0,1	0,7	0,2
		0,2	0,8
15.
P₁₅ =				R₁₅ =
	0,3	0,3	0,4
		0,4	0,6
		0,2	0,8
16.
P₁₆ =				R₁₆ =
	0,4	0,5	0,1
		0,4	0,6
	0,05	0,2	0,75
17.
P₁₇ =				R₁₇ =
	0,4	0,5	0,1
	0,1	0,7	0,2
		0,2	0,8
18.
P₁₈ =				R₁₈ =
	0,3	0,3	0,4
	0,1	0,6	0,3
	0,05	0,2	0,75
19.
P₁₉ =				R₁₉ =
	0,3	0,6	0,1
	0,1	0,6	0,3
	0,05	0,2	0,75
20.
P₂₀ =				R₂₀ =
	0,3	0,6	0,1
	0,1	0,7	0,2
		0,2	0,8
21.
P₂₁ =				R₂₁ =
	0,3	0,3	0,4
		0,4	0,6
		0,2	0,8
22.
P₂₂ =				R₂₂ =
	0,4	0,5	0,1
	0,1	0,6	0,3
	0,05	0,2	0,75
23.
P₂₃ =				R₂₃ =
	0,4	0,5	0,1
		0,4	0,6
		0,2	0,8
24.
P₂₄ =				R₂₄ =
	0,4	0,5	0,1
		0,4	0,6
		0,2	0,8
25.
P₂₅ =				R₂₅ =
	0,3	0,6	0,1
	0,1	0,6	0,3
		0,2	0,8
26.
P₂₆ =				R₂₆ =
	0,3	0,6	0,1
	0,1	0,6	0,3
		0,2	0,8
27.
P₂₇ =				R₂₇ =
	0,3	0,6	0,1
		0,4	0,6
		0,2	0,8

Результаты вычислений приведены в таблице.

s	i = 1	i = 2	i = 3
		90,5

			83,6
		90,5

		90,5

		90,5

		90,5

		90,5	83,6

		90,5	83,6
			83,6

		90,5	83,6


		90,5



			83,6

			83,6

Стационарные вероятности находятся из уравнений

Для иллюстрации применения этих уравнений рассмотрим стратегию s = 1. Соответствующие уравнения имеют следующий вид.

(Отметим, что одно из первых трех уравнений избыточно.) Решение системы будет

В данном случае ожидаемый годовой доход равен

Результаты вычисления и для всех стационарных стратегий приведены в следующей таблице.

s
	0,095	0,419	0,486	78,557
	0,061	0,364	0,575	74,112
		0,25	0,75	85,450
	0,113	0,468	0,419	81,840
	0,049	0,341	0,61	73,679
	0,059	0,412	0,529	76,686
	0,107	0,387	0,506	77,217
	0,075	0,444	0,481	79,022
	0,049	0,341	0,61	72,459
	0,099	0,479	0,422	82,910
	0,05	0,256	0,694	74,044
	0,059	0,412	0,529	86,525
	0,048	0,274	0,678	75,832
	0,065	0,452	0,483	88,695
		0,25	0,75	85,450
	0,056	0,271	0,673	75,408
	0,075	0,444	0,481	87,969
	0,09	0,348	0,562	74,536
	0,093	0,395	0,512	78,086
	0,065	0,452	0,483	79,711
		0,25	0,75	71,500
	0,107	0,387	0,506	77,217
		0,25	0,75	71,500
		0,25	0,75	85,450
	0,053	0,368	0,579	74,589
	0,053	0,368	0,579	85,358
		0,25	0,75	71,500

Вывод: Из таблицы видно, что стратегия 14 (организовать бесплатную доставку, если объем продаж на уровне 1 или 3) дает наибольший ожидаемый месячный доход. Следовательно, это и есть оптимальная долгосрочная стратегия.