Предварительные сведения

Передаточная функция теплового бака

Цель работы

Целью работы является теоретическое и экспериментальное определение передаточной функции теплового бака.

Предварительные сведения.

2.1 Определение передаточной функции теплового бака при разработке САР

Тепловой бак, заполненный жидкостью, с нагревателем и датчиком температуры представляет собой типичный объект управления и регулирования.

На этапе проектирования системы автоматического регулирования (САР) температуры теплового объекта необходимо знание его передаточной функции как объекта управления.

Теоретическое определение передаточной функции подобных объектов представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Однако, на данном этапе, часто вполне достаточно ограничиться приближенной оценкой и найти упрощенное аналитическое представление передаточной функции объекта.

Уточнение основных параметров объекта и его передаточной функции производится уже во время пуско-наладочных работ, и по их результатам в САР вводятся соответствующие корректировки.

Целью данной работы и является приобретение практических навыков решения подобных проблем на примере, пожалуй, наиболее распространенного типа объектов - теплового бака с жидкостью.

2.2. Физические процессы в тепловом баке и его передаточная функция.

Прежде, чем перейти к математическому описанию объекта регулирования, необходимо на качественном уровне рассмотреть и наглядно представить себе физические процессы тепло- и массообмена в объекте при различных режимах его функционирования.

Это позволит в дальнейшем принять некоторые полезные предположения или гипотезы, позволяющие упростить математическое описание объекта и выделить базовые физические процессы, вносящие основной вклад в поведение объекта.

В данном случае, необходимо рассмотреть процессы разогрева воды в баке в режиме нагрева с включенным нагревателем и её охлаждение после отключения нагревателя.

При анализе основных физических процессов тепломассообмена в тепловом баке с водой воспользуемся упрощенной конструкцией бака.

На рис.1 показана конструкция теплового бака лабораторного стенда. Тепловой бак представляет собой тонкостенную емкость из нержавеющей стали. В нижней его части размещены трубчатые электронагреватели – ТЭНы.

Температура воды в баке контролируется с помощью платинового термометра сопротивления типа ТСП50, расположенного вблизи стенки бака.

Кроме него в баке установлен термометр сопротивления типа ТСМ (на рисунке не показан) с чувствительным элементом из медной проволоки. Он используется в автоматической системе поддержания температуры бака.

Будем считать, что термометры сопротивления регистрируют среднюю температуру жидкости в баке Tб.

Температуру окружающей среды будем считать неизменной и равной Tср.

В исходном состоянии бак находится в тепловом равновесии с окружающей средой.

Рассмотрим теплофизические процессы в баке после включения нагревателя мощностью Pн.

После подачи напряжения сети на нагреватель, прежде всего, начинает нагреваться сам нагреватель. Из-за собственной теплоемкости нагревателя температура его поверхности Tн начинает повышаться в первом приближении по экспоненте с некоторой постоянной времени τн.

Из теории автоматического управления известно, что объекты с подобной реакцией на ступеньку представляют собой апериодическое звено первого порядка. Таким образом, можно с достаточной степенью уверенности предположить, что передаточная функция нагревателя будет описываться выражением:

Wн (p) = kн/(1+ τн p),

где kн – коэффициент преобразования нагревателя бака, град./Вт;

τн – постоянная времени, сек.;

p – оператор Лапласа.

Из предварительных исследований следует, что значение постоянной времени τн по порядку величины составляет 1 сек., т. е. τн ~ 1 сек.

Нагрев поверхности ТЭНа приводит к сильному перегреву прилегающей жидкости по сравнению с более удаленной. Эта нагретая жидкость под действием архимедовой силы отрывается от поверхности нагревателя и всплывает, перемешиваясь и увлекая за собой более холодные слои. Возникает направленные вверх движения жидкости вдоль оси бака и её опускание вниз вдоль его стенок.

Постепенно внутри бака устанавливается конвективное движение жидкости, переносящее тепло от нагревателя к датчику температуры и стенкам бака. Формируется стационарный конвективный вихрь и возникает интенсивное перемешивание жидкости.

Время, необходимое для развития устойчивой конвекции внутри бака приводит к запаздыванию нарастания средней температуры Tб в зоне расположения чувствительного элемента термометра сопротивления на некоторую величину τк.

Процесс увеличения средней температуры в баке будет обусловлен рассмотренным механизмом распределения тепла, а также полной теплоемкостью бака с жидкостью, мощностью нагревателя и условиями охлаждения его стенок, т.е. мощностью тепловых потерь на охлаждение Pохл.

Так как мощность тепловых потерь является нелинейной функцией температуры бака и температуры окружающей среды, то точное описание этого процесса чрезвычайно затруднено, и реальная передаточная функция бака Wб (p) будет сложной.

Итак, порции нагретой достигли зоны расположения чувствительного элемента(катушки) термометра сопротивления, имеющего ещё температуру Tср.

Начинается процесс теплообмена между движущейся нагретой жидкостью и поверхностью термометра, сопровождающийся нагревом его поверхности и диффузией тепла к чувствительному элементу. Расчет процесса изменения температуры чувствительного элемента сложен и неточен. Поэтому, реакция термометра на скачок температуры определяется путем его быстрого переноса из одной жидкой среды в другую с различающимися температурами.

Подобный эксперимент с датчиком температуры ТСП50 показал, что переходной процесс достаточно хорошо соответствует реакции апериодического звена первого порядка с постоянной времени τд ~ 25 сек.

Следовательно, передаточная функция термометра имеет вид:

Wд (p) = kд/(1+ τд p),

где kд – коэффициент преобразования датчика (термометра сопротивления), Ом/град;

τд – постоянная времени датчика в спокойной воде; в движущейся среде постоянная времени меньше

Таким образом, теплофизические процессы, происходящие в баке после включения нагревателя могут быть представлены рядом блоков со своими передаточными функциями, как это показано на рис. 2.

В блок схему объекта введено звено чистого запаздывания, чтобы учесть развитие конвекции жидкости в баке. Реальную температуру воды в области расположения датчика температуры обозначена через T_В.

Однако о температуре воды в баке Тб все же судят по изменению сопротивления катушки датчика температуры.

Фактически рис.2 представляет собой умозрительную схему, как результат анализа – расчленения сложного физического явления на отдельные звенья. Проверить их функционирование поодиночке невозможно, поскольку единственное, что нам на самом деле известно – это поведение показаний термометра Tб, приписываемых температуре жидкости в баке после подачи на выводы нагревателя некоторого напряжения питания Uн, при котором в нагревателе выделяется тепловая мощность Pн.

Более того, реальная мощность, идущая на нагрев жидкости, из-за конвективных и лучистых потерь через стенки бака во внешнюю среду, оказывается меньше.

Таким образом, для оценочного расчета передаточной функции бака необходимы новые упрощения.

■ Обратим внимание на то, что собственная теплоёмкость нагревателя и датчика температуры намного меньше теплоемкости бака с водой. Поэтому процесс нагрева в основном будет определяться тепловой инерцией самого бака. Следовательно, первый и последний блоки схемы рис.2. будут просто некими линейными преобразователями с коэффициентами kн и kд.

■ Кроме того, из теории автоматического управления известно, что несколько включенных друг за другом апериодических звеньев могут быть представлены звеном с чистым запаздыванием. Добавим небольшие запаздывания, вносимые нагревателем и датчиком, к конвективному запаздыванию и это суммарное запаздывание обозначим через tзап.

С учетом высказанных выше замечаний тепловой бак может быть описан упрощенной структурной схемой, приведенной на рис.3. Здесь же приведена ожидаемая реакция бака на включение нагревателя.

Заметим, что время задержки, и это подтверждается экспериментом, зависит от мощности нагревателя, поскольку от мощности нагревателя зависит степень перегрева жидкости, а следовательно, и время установления конвекции в жидкости. Теоретическое определение tзап невероятно сложно, но как видно из рис.3 его легко найти экспериментально по разгонной характеристике теплового бака.

Теперь перед нами стоит одна задача – определение Wб (p), связывающей температуру бака Tб с мощностью нагревателя Pн. И главной проблемой здесь будет расчет мощности лучистых и конвективных потерь тепла во внешнюю среду, поскольку именно они определяют реальную тепловую мощность, идущую на нагрев жидкости.

2.3. Равномерность тепловыделения. При расчете Wб (p) введем ещё одно важное допущение. Будем считать, что все внутренние процессы тепло–массообмена внутри бака происходят намного быстрее процессов его теплообмена с внешней средой.

Это равносильно предположению, что тепловая мощность (мощность нагревателя за вычетом мощности потерь), идущая на нагрев жидкости, равномерно распределена по всему объему бака, а следовательно, температура во всех точках внутри бака одинакова и равна Tб.

Сделанное предположение очень хорошо выполняется при механическом перемешивании жидкости специальной мешалкой. В нашем же случае её роль выполняет свободная конвекция жидкости, поддерживаемая мощным тепловыделением нагревателя и относительно слабым механизмом охлаждения жидкости у стенок бака.

В режиме нагрева работают оба механизма поддержания конвекции и наше предположение об одинаковости температур во всех точках внутри бака достаточно хорошо выполняется.

Однако в случае охлаждения оно нарушается, т.к. действует только один маломощный механизм поддержания конвекции – опускание охлажденной жидкости вдоль стенок бака.

Эти выводы можно легко проверить при обработке экспериментальных графиков по нагреву и охлаждению бака.

2.4. Уравнение динамики теплового бака. Теперь можно перейти к выводу уравнений, определяющих нагрев и охлаждение бака.

Пусть температура бака в ⁰C равна Tб, а количество накопленной тепловой энергии Q Дж.

Включим нагреватель на время t.

После этого тепловая энергия в баке возрастет на величину Q.

Q = (Pн - Рохл) t, (1)

где Рохл – мощность потерь через стенки бака во внешнюю среду.

Приращение энергии Q и вызванное этим приращение температуры T_б связаны известным соотношением:

Q _i = [Σ (m _i C _i)] Tб, (2)

здесь m _i – масса i-ой компоненты котла (корпус, вода, и т.п.), кг;

C _i – удельная теплоёмкость i-ой компоненты, Дж/(кг град).

При теплофизических расчетах обычно используется полная теплоёмкость объекта С, Дж/град

С = [Σ (m _i C _i)] (3)

Из выражений (1) – (3) следует, что

(Pн - Рохл) = С ( Tб/ t),

или

( Tб/ t) = (1/С) (Pн - Рохл).

Переходя к пределу при t 0, получим дифференциальное уравнение

dTб /dt = (1/C) Pн - (1/C) Рохл. (4)

Если температура окружающей среды неизменна, то есть Тср = Const, то физически корректнее отсчитывать температуру бака не от 0 ⁰С, а от Тср. Обозначим эту смещенную температуру через Т

Т = Тб - Тср. (5)

Переход к смещенной температуре бака Т не приведет к изменению производной от Тб, поскольку производная от постоянной составляющей исчезнет:

dT/dt = d [Тб - Тср]/ dt = (dTб/dt), (6)

и дифференциальное уравнение (4) примет вид:

dT/dt = (1/C) Pн - (1/C) Рохл. (7)

Если бы Рохл = Const, тогда разогрев бака и его охлаждение всегда были бы линейной функцией времени. Однако Рохл изменяется вместе с изменением температуры бака Тб и эти зависимости существенно усложняются.

Введение смещенной температуры бака оправдывается тем, что конвективные потери энергии зависят только от разницы температуры стенок бака и окружающей температурой среды на некотором удалении от него. Только в этом случае вдоль стенок перегретого бака начинает всплывать теплый воздух и возникает его устойчивое восходящее движение – конвекция воздуха.

В то же время при расчете радиационных потерь началом отсчета температуры является 0 ⁰К. То есть при Тб = Токр разнонаправленные радиационные потоки существуют, но они находятся в равновесии.

На рис.4. приведены графики разогрева бака для обычного и смещенного (5) представлений.

Первое представление является формальным, а второе – физическим.

2.5. Оценка мощности тепловых потерь. Несмотря на свою простоту полученные уравнения чрезвычайно важны, т.к. позволяют довольно хорошо оценить мощность потерь для любой температуры бака.

Рассмотрим, как это делается. На рис.5. приведены несмещённые экспериментальные кривые разогрева и охлаждения бака. 1 – касательная в начальной точке разогрева А, 2 – касательная с правой стороны от точки начала охлаждения В и t = t1 = t2 – два равных интервала времени.

Сразу же после включения нагревателя (точка А) температура бака мало отличается от температуры окружающей среды и можно считать, что Pохл = 0. Основное уравнение динамики бака (7) резко упростится:

{ dT/dt}_A = {∆Тн/∆t1} = (1/C) Pн (8)

После выключения нагревателя (точка В) Pн = 0 и тогда можно записать аналогичное простое выражение для того же уравнения:

{ dT/dt}_B = {∆Тохл/∆t2} = - (1/C) Рохл. (9)

Разделим (9) на (8) и учтем, что t1 = t2

В итоге получим

{∆Тохл/∆Тн} = - (Рохл/Pн)

Итак,

{ Рохл }_В = Pн {∆Тохл/∆Тн}. (10)

В выражении (10) знак (-) исключен, так как он скомпенсирован отрицательным приращением Tохл, и в формулу (10) необходимо подставлять только соответствующие значения без знака приращения.

Таким образом, соотношение (10) позволяет оценить потери на охлаждение для температуры бака, при которой был отключен нагреватель, то есть потери в точке В.

Заметим, что никакой дополнительной информации, кроме графиков и значения мощности нагревателя не требуется!

2.6. Учет влияния температуры на мощность тепловых потерь. Следующим шагом в выводе уравнения динамики теплового бака является учет зависимости мощности потерь Pохл от температуры Tб и температуры окружающей среды Tср.

Мощность тепловых потерь в окружающую среду определяется плотностью мощности тепловых потерь q черезповерхность объекта S:

Плотность теплового потока от нагретого бака qк, вызванного свободной конвекцией воздуха вокруг бака, выражается законом Ньютона:

qк = αк (Тб – Тср) = αк Т

где αк – коэффициент теплообмена, Вт/(м² град).

Если площадь поверхности бака, участвующая в конвективном теплообмене, равна Sк, то мощность конвективного охлаждения Pохл.к будет определяться выражением:

Pохл.к = qк Sк = αк Sк(Тб – Тср) = αк Sк Т.

При относительно невысоких температурах теплового бака с водой (Tб < 100 ⁰С) мощность лучистого теплообмена Pохл.л может быть записана аналогичным образом:

Pохл.л = qл Sл = αл Sл(Тб – Тср) = αл Sл Т,

где αл – коэффициент лучистого теплообмена, Вт/(м² град),

S_л – площадь поверхностного бака, участвующая в лучистом теплообмене, м².

Мощность охлаждения бака Pохл определяется суммой обеих составляющих потерь:

Pохл = (αк Sк + αл Sл)Т, Вт.

С целью упрощения вида уравнения динамики введем следующее очень важное обозначение:

αS = (α к Sк + α л Sл),(11)

и тогда

(12)

Это выражение подставим в (7) и получим уравнение:

dT/dt = (1/C) Pн - (αS /C) Т. (13)

К сожалению, αк и αл не постоянны, а изменяются с изменением температуры бака Tб, и температуры окружающей среды Tср.

Из-за этого записанное уравнение не имеет простого аналитического решения. Вообще-то, реальные задачи, касающиеся динамики тепловых объектов, не имеют аналитических решений.

Поэтому и используют упрощающие предположения, позволяющие решить поставленную задачу.

Дополнительные предположения. В нашем случае таким предположением будет независимость αк и αл от температуры в интересующем нас диапазоне температур.

αк = Const

αл = Const (14)

αS = Const

Перепишем уравнение (13) в таком виде, чтобы все его составляющие имели размерность температуры:

[C/αS] dT/dt + Т = (1/ αS) Pн

Размерность выражения перед производной есть время, поэтому обозначим его через τб. Размерность коэффициента перед Pн – град/Вт и таким образом он выступает в роли коэффициента преобразования kб.

С учетом принятых обозначений уравнение динамики бака примет привычную для специалиста по автоматике формулу:

τб dT/dt + Т = kб Pн (15)

где τб = [C/αS] - постоянная времени бака, сек;

kб = (1/ αS) - коэффициент преобразования бака, град/Вт.

Постоянная времени бака и его коэффициент преобразования связаны между собой соотношением:

τб = C kб (16)

2.7. Анализ уравнения. Проанализируем полученное уравнение динамики теплового объекта (15).

■ Поскольку в уравнение входит аргумент T и его производная, то решением уравнения динамики бака будет экспонента.

■ С точки зрения математики нагрев бака прекращается при dT/dt = 0, то есть предельная температура бака, отсчитываемая от температуры окружающей среды, определяется выражением:

Т0 = kб Pн (17)

■ Таким образом, разогрев бака описывается выражением:

Тнагр = Т0 [1 – exp(- t/τб)], (18)

а охлаждение, при отключении нагревателя при какой-либо температуре TВ, - функцией:

Тохл = TВ exp(- t/τб). (19)

2.8. Передаточная функция теплового бака. Для определения передаточной функции теплового бака Wб(p), где p – оператор Лапласа, достаточно применить к уравнению (15) преобразование Лапласа £ при нулевых начальных условиях T(0) = 0, т.е.

£[τб dT(t)/dt ] + £[ Т(t) ] = £[kб Pн].

В итоге получим:

τб p T(p) + T(p) = kб Pн(p),

или

[1 + б p ] T(p) = kб Pн(p)

Передаточная функция объекта есть отношение операторной формы его выходной величины к входной:

Wб(p) = T(p)/Pн(p) = kб/[1 + τб p ] (20)

Итак, тепловой бак с точки зрения теории автоматического управления, при сделанных нами допущениях, представляет собой обычное апериодическое (инерционное) звено 1 – го порядка.

2.9. Экспериментальное определение параметров передаточной функции теплового бака. Рассмотрим вопрос об определении параметров kб и τб теплового бака по результатам специальных экспериментов:

С баком могут быть проделаны следующие эксперименты:

■ нагрев до заданной температуры при естественном теплоотводе, соответствующем условиям эксплуатации бака (разгонная характеристика);

■ охлаждение нагретого бака до температуры окружающей среды при нормальных условиях эксплуатации;

■ нагрев бака при условии его теплоизоляции, т.е. при Pохл << Pн.

Оценка полной теплоемкости бака. Вначале рассмотрим последний случай – нагрев теплоизолированного бака. Воспользуемся простейшим уравнением бака (7) при Pохл = 0:

dT/dt = (1/C) Pн = Const

На рис.5 эта зависимость представлена касательной 1, соответствующей постоянной скорости разогрева бака.

{ dT/dt}_A = {∆Тн/∆t1} = (1/C) Pн

Из эксперимента по разогреву теплоизолированного бака легко найти искомую касательную и определить по ней полную теплоёмкость бака C.

C = {∆Тн/∆t1}/Pн (21)

Определение kб, τб и полной теплоемкости бака С из разгонной характеристики бака. Рассмотрим определение kб и τб из анализа разгонной характеристики бака при естественном теплоотводе.

Непосредственный анализ этой характеристики затруднителен из-за нелинейной зависимости T от времени. Поэтому, обычно экспериментальные графики перестраивают в других координатах, где они имеют вид прямых линий.

Очевидно, что в координатах x = dT/dt и T уравнение динамики бака (15) с использованием соотношения (17) будет представлять собой уравнение прямой:

τб x + Т = Т 0 (22)

Порядок получения перестроенной зависимости показан на рис.6. В каждой фиксированной точке А разгонной характеристики бака, соответствующей температуре TА бака, проводится касательная и по ней определяется производная ( T/ t)А.

Теперь каждая точка А наряду с координатами (TА,tА) приобретает новые координаты (TА,xА). Совокупность точек с новыми координатами дает некоторую перестроенную зависимость с линейным участком, расположенным между температурами Tн и Tв.

Продолжим полученную аппроксимационную прямую до пересечения с осями координат. Прямая пересечет оси координат в точках:

(х = 0, Тмакс = Т0) и (Т = 0, х макс = Т0/τб). (23)

Знание координат этих точек пересечения позволяет определить интересующие нас параметры теплового бака.

Из соотношения (17) следует, что

kб= Т0 /Pн, (24)

а из (23) можно найти постоянную времени теплового бака

τб = Т0 / х макс = Т0/ (dT/dt)макс. 25)

Соотношение (16) позволяет уточнить полную теплоёмкость бака

C = τб/kб (26)

На линейном участке перестроенной зависимости справедливо уравнение (15)

τб dT/dt + Т = kб Pн,

и процесс разогрева бака на этом и только на этом участке идет по экспоненте.

Определение τб из графика охлаждения бака. Экспериментальный график охлаждения бака анализируется аналогично. Т.к. этому случаю соответствует условие Pн = 0,иследовательно, Т0 = 0, то уравнение (22) примет вид:

τб х + Т = 0 (27)

Это уравнение прямой, выходящей из начала координат. Ясно, что из перестроенного графика можно найти только τб. И поскольку в режиме охлаждения нарушается условие изотермичности внутреннего объема бака из-за исчезновения мощного источника конвекции жидкости, обусловленного работой нагревателя, то постоянная времени охлаждения бака будет всегда больше постоянной времени его нагрева, т.е.

τб охл > τб нагр (28)

Для удобства анализа теплофизических процессов в тепловом баке оба графика следует строить на одной координатной сетке.

2.10. Теоретическое определение коэффициента преобразования бака kб и его постоянной времени τб. Вернемся к теоретическому определению коэффициента преобразования бака kб и его постоянной времени τб.

В соответствии с (15) для этого необходимо знать коэффициенты конвективного α к и лучистого α л теплообмена.

Процессы тепло- и массообмена столь сложны, что в подавляющем большинстве реальных случаев приходится использовать некие интегральные подходы без решения соответствующих уравнений.

Формально уравнения теплопереноса могут быть записаны, могут быть записаны и граничные условия, но это зачастую и всё, что можно сделать.

Однако приведение уравнений к безразмерному виду позволяет нам выделить безразмерные комплексы величин, стоящих перед соответствующими членами уравнений.

Эти безразмерные комплексы получили название чисел подобия или критериев подобия и они определяют соотношение различных физических механизмов, участвующих в теплообмене.

Эмпирические соотношения, определяющие тот или иной теплофизический процесс, в которые входят только критерии, носят название критериальных уравнений.

■ Конвективный теплообмен. Для расчета _k в нашем случае используется следующее критериальное уравнение:

Nu = k (Gr Pr)ⁿ, (29)

Входящий в уравнение критерий или иначе число Нуссельта Nu представляет собой отношение интенсивности конвективной теплоотдачи к интенсивности теплоотдачи за счет теплопроводности среды:

Nu = (αк L)/λ (30)

где L – определяющий размер нагретого тела вдоль направления конвекции, м;

λ - коэффициент теплопроводности газа, Вт/(м град).

Критерий Грасгофа Gr представляет собой отношение подъемной силы Архимеда к вязкостной силе:

Gr = [β g L³ (Тб – Тср)] /ν²,

где β - температурный коэффициент объемного расширения газа, 1/град;

g – ускорение свободного падения, g = 9,81 м²/с.

ν – кинематическая вязкость газа, м²/с.

Критерий Прандтля Pr представляет собой меру подобия температурных и скоростных полей в конвективном потоке близ стенки нагретого тела:

Pr = ν/a,

где a - коэффициент температуропроводности, м²/с.

Численные значения коэффициентов k и n определяются режимом обтекания нагретого тела конвективным потоком. Они зависят от произведения (Gr Pr) критериального уравнения (29) и могут быть найдены из табл.1.

Таблица 1.

Режим обтекания	(Gr Pr)	k	n
Ламинарный	1 10-3…500	1,18	1/8
Переходной	500 … 2 107	0,54	1/4
Турбулентный	2 107… 1 1013	0,135	1/3

Теплофизические параметры воздуха зависят от температуры и давления. Их численные значения для сухого воздуха при нормальном атмосферном давлении приведены в табл.2.

Таблица 2.

T, 0С
102, Вт/(м град)	2.44	2.51	2.59	2.67	2.76	2.83
103, 1/град	3.66	3.53	3.41	3.30	3.19	3.09
105, м2/с	1.33	1.41	1.50	1.60	1.69	1.79
Pr	0.707	0.705	0.703	0.701	0.699	0.698

Примечание. При составлении таблиц с целью сокращения длины записываемого в таблицу числа оно увеличивается или уменьшается в 10 ⁿ раз с тем, чтобы число в таблице было порядка единицы. Тогда оно занимает мало места.

Для восстановления исходного числа табличное значение умножается на 10 ^-n.

Температура среды, а следовательно, и температура параметра воздуха, изменяется от Tб у стенки бака до Tср вдали от него. При оценке коэффициента конвективного теплообмена αк профиль температуры не учитывается, но значения теплофизических параметров воздуха относят к средней температуре

<Т> = (Тб + Тср)/2 (31)

Итак, в нашем распоряжении теперь имеются все исходные данные для расчета α к и мощности конвективных потерь Pохл.к.

Из (29) и (30) следует, что

αк = k (λ/L) (Gr Pr)ⁿ

Последовательность расчета:

- для i-го значения Tб определяется <Т> и из табл.2 выписываются требуемые теплофизические параметры среды λ, β, ν и Pr;

- рассчитывается соответствующее значение (Gr Pr);

- из табл.1 определяются коэффициенты k и n;

- вычисляется i-е значение αк;

Заканчивается расчет определением мощности конвективных потерь Pохл.к, соответствующей данной температуре бака.

■ Лучистый теплообмен. Перейдём к определению коэффициента лучистых потерь αл и мощности тепловых потерь за счет излучения Pохл.л.

Известно, что плотность мощности излучения с поверхности абсолютно черного тела определяется законом Стефана – Больцмана:

Е0 = С0 (Тк/100)⁴, Вт/м²,

где Тк – абсолютная температура тела в градусах Кельвина, ⁰K;

С₀ = 5,67 Вт/(м^{2 0}K⁴) – постоянная излучения абсолютно черного тела.

Для реальных (серых) тел вводится понятие степени черноты тела ε < 1.

Поэтому плотность мощности излучения Е с поверхности реального тела оценивается по формуле:

Е = ε Е0

Если нагретое тело удалено от окружающих предметов, а его температура не слишком велика, то для оценки значения коэффициента лучистого теплообмена αл можно воспользоваться приближенной формулой:

αл = 0,23 ε (Тк/100)³, Вт/(м^{2 0}K)

Где Тк - средняя температура воздуха <Т> (31) в ⁰K. Т.е. Тк = <Т> + 273, ⁰K.

Определение мощности тепловых потерь Pохл.л теперь не представляет затруднений.

3. Теоретическое и экспериментальное определение Wб(p)

3.1 Исследуемый объект. Теоретическое и экспериментальное определение теплофизических характеристик и передаточной функции теплового объекта проводится применительно к тепловому баку лабораторного стенда.

☼ Исходные данные для теоретического расчета:

■ Геометрические параметры бака:

- высота L – 0,33 м,

- площадь крышки – 0,02 м²,

- общая площадь поверхности S – 0,18 м².

■ Степень черноты поверхности ε:

- полированный дюралюминий – 0,2;

- лаки, краски эмалевые – 0,92.

■ Полная теплоемкость бака C 1,5 10⁴ Дж/град

■ Нагреватель

- мощность Pн = 750 Вт при Uн = 220 В.

- сопротивление нагревателя не зависит от его температуры.

Расчет проводится для температуры среды +10 или +20 ⁰C в зависимости от температуры помещения при проведении работы и температуры бака: 20, 25, 40, 60, 80, 100 ⁰C.

☼ Для экспериментального определения kб и τб используются ранее снятые графики:

- разгона бака при пониженном напряжении Uн = 100 В.

- охлаждения бака.

3.2. Теоретическое и экспериментальное определение Wб (p)

Работа выполняется в 3 этапа.

1 этап. Теоретическое исследование.

1.1. Рассчитываются коэффициенты конвективного αк и лучистого α л теплообмена и строится график зависимости этих коэффициентов от Tб.

1.2. Рассчитываются мощности конвективных Pохл.к и лучистых потерь Pохл.л, а так же общих потерь Pохл.

Результаты сводятся в график зависимости потерь от Tб.

1.3. Определяются параметры kб и τб, и записывается расчетная передаточная функция бака Wб(p)расч _..

2 этап. Экспериментальное исследование

2.1. Перестраивается график разгона бака и из него определяются экспериментальные значения kб и τб.

Записывается экспериментальная передаточная функция бака Wб(p)эксп.

2.2. Определяется область температур Tб, внутри которой найденная Wб(p)эксп отражает реальное поведение бака при разогреве.

2.3. Перестраивается график охлаждения бака и определяется величина τб.

Сравнивается ее значение со значением, полученным из разгонной характеристики.

3 этап. Анализ результатов и выводы.

3.1. Проводится подробный анализ результатов теоретических и экспериментальных исследований, выполненных при проведении данной работы.

Кроме того, проводится сравнение с результатами собственных экспериментальных исследований, проведенных при выполнении работы «Автоматическая релейная система поддержания температуры».

Литература

1. Кейн В. М. Конструирование терморегуляторов, М., Советское радио, 1971, 152с.