Системы счисления

Лабораторная работа №4

Все фантастические возможности вычислительной техники (ВТ) реа- лизуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней, которые условились называть «единицами» и «нулями».

Под системой счисления (СС) понимается способ представления любого числа с помощью алфавита символов, называемых цифрами.

СС называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе.

Десятичная СС является позиционной. На рисунке слева значение цифры 9 изменяется в зависимости от, ее положения в числе. Первая слева девятка делает вклад в общее значение десятичного числа 900 единиц, вторая — 90, а третья — 9 единиц.

Римская СС является непозиционной. Значение цифры X в числе XXI остается неизменным при вариации ее положения в числе. Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС. В десятичной СС используется десять цифр: 0,1,2,..., 9; в двоичной СС — две: 0 и 1; в восьмеричной СС — восемь: 0, 1,2,..., 7. В СС с основанием Q используются цифры от 0 до Q - 1.

В общем случае в позиционной СС с основанием Q любое число х может быть представлено в виде полинома:

где в качестве коэффициентов, могут стоять любые цифры, используемые в данной СС.

Принято представлять числа в виде последовательности входящих в полином соответствующих цифр (коэффициентов):

Запятая отделяет целую часть числа от дробной части. В ВТ чаще всего для отделения целой части числа от дробной части используют точку. Позиции цифр, отсчитываемые от точки, называют разрядами. В позиционной СС вес каждого разряда отличается от веса (вклада) соседнего разряда в число раз, равное основанию СС. В десятичной СС цифры 1-го разряда — единицы, 2-го — десятки, 3-го — сотни и т. д.

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: дво- ичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы и др. Для обозначения используемой СС числа заключают в скобки и индексом указывают основание СС: (15)₁₀;(1011)₂;(735)₈;(1EA9F)₁₆. Иногда скобки опускают и оставляют только индекс: 15₁₀; 1011₂;735₈; 1EA9F_I₆.

Есть еще один способ обозначения СС: при помощи латинских букв, добавляемых после числа. Например, 15D; 1011B;735Q; 1EA9FН.

Установлено, что, чем больше основание СС, тем компактнее запись числа. Так двоичное изображение числа требует примерно в 3,3 раза большего количества цифр, чем его десятичное представление. Рассмотрим два числа: 97D = 1100001В. Двоичное представление числа имеет заметно большее количество цифр.

Несмотря на то, что десятичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных (цифровых) элементах, так как реали- зовать элементы с десятью четко различимыми состояниями сложно. В другой системе счисления могут работать приборы декатрон и трохотрон. Декатрон — газоразрядная счетная лампа — многоэлектродный газоразрядный прибор тлеющего разряда для индикации числа импульсов в десятичной СС.

Указанные устройства не нашли применения для построения средств ВТ. Историческое развитие вычислительной техники сложилось таким образом, что цифровые ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств (триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т. п.).

Заметим, что отечественная ЭВМ «Сетунь» (автор - Н.П. Брусенцов) работала с использованием троичной системы счисления.

Шестнадцатеричная и восьмеричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов— команд, данных, адресов и операндов. Перевод из двоичной СС в шестнадцатеричную и восьмеричную СС (и обратно) осуществляется достаточно просто.

Задача перевода из одной системы счислении в другую часто встреча- ется при программировании и особенно часто при программировании на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти, для получения двоичного или шестнадцатеричного эквивалента десятичного числа. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, Си требуют задания параметров в шестнадцатеричной системе счисления. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с шестнадцатеричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ практически невозможно без представлений о двоичной системе счисления. Без знания двоичной СС невозможно понять принципы архивации, криптографии и стеганографии. Без знания двоичной СС и булевой алгебры невозможно представить, как происходит слияние объектов в векторных графических редакторах. В табл. 1 приведены некоторые числа, представленные в различных СС.

Рассмотрим правило перевода из восьмеричной СС в двоичную СС. Для перевода восьмеричного числа в двоичную СС достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим трехразрядным двоичным числом. Затем необходимо удалить крайние нули слева, а при наличии дробной части — и крайние нули справа.

Еще одно правило перевода чисел. Для перевода от шестнадцатеричной СС к двоичной СС каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом. У двоичного числа удаляются лидирующие нули (крайние слева), а если имеется дробная часть, то и крайние правые нули.

Таблица 1.