простейшие свойства

Определение линейного оператора и его

Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем . Отображение называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. (условие аддитивности).

2. (условие однородности).

Линейный оператор также еще называют линейным отображением. Если пространства и совпадают, то мы говорим «линейный оператор пространства в себя» или «линейное преобразование».

Очевидно, линейными являются нулевой оператор , который каждому вектору пространства ставит в соответствие нейтральный элемент пространства , а также тождественный оператор . Примерами линейных операторов также являются оператор поворота плоскости вокруг неподвижной точки на угол и оператор дифференцирования , ставящий в соответствие каждой функции ее производную (т.е. ).

Пример 15.3. Пусть – пространство свободных векторов, . Показать, что следующие отображения являются линейными операторами пространства в себя: а) оператор, ставящий в соответствие каждому вектору его ортогональную проекцию на ось, направление которой задано ненулевым вектором . Этот оператор в дальнейшем будем обозначать (т.е. ); б) , где – некоторый фиксированный вектор.

∆Самой сложной операцией для студентов оказывается запись образа суммы векторов. Чтобы прояснить ситуацию, представьте себе, что вам задана функция . Как вы будете искать ? Конечно, вы скажете, вместо надо подставить 5. Точно так же, для нахождения в формулу вместо следует подставить .

а) В аналитической геометрии доказывалось, что . Тогда: = = = = ;

= = =

(использовались свойства скалярного произведения и произведения вектора на число). Таким образом, и условия 1 и 2 из определения линейного оператора выполняются, а значит, оператор проектирования вектора на ось является линейным.

б) Для произвольных векторов и , а также для всех чисел :

; .

(используются свойства векторного произведения). ▲

Пример 15.4. Обозначим линейную оболочку функций и , . Доказать, что отображение является линейным оператором пространства в себя.

∆Покажем сначала, что при отображении образ любой функции из пространства также принадлежит этому пространству. Действительно, при любых действительных и имеем:

,

(здесь , ).

Теперь проверим выполнение условий линейности: имеем:

;

.

Во всех преобразованиях использовали известные свойства определенного интеграла: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, а также то, что множитель, не зависящий от переменной интегрирования, можно выносить за знак интеграла. ▲

Простейшие свойства линейного оператора. 1. При линейном операторе образ линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации их образов, т. е., если – линейный оператор, то :

.

2. Линейный оператор переводит нейтральный элемент пространства в нейтральный элемент пространства .

3. При линейном операторе линейно зависимые векторы пространства переходят в линейно зависимые векторы пространства , причем сохраняются коэффициенты линейной зависимости.

Теорема 15.1. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем P и пусть в пространстве задан базис

, (15.1)

а в пространстве – произвольная система векторов

. (15.2)

Тогда существует единственный линейный оператор , переводящий базис (15.1) в систему (15.2), то есть такой, что : .

Пример 15.5. Доказать или опровергнуть утверждение: при линейном операторе линейно независимые векторы переходят в линейно независимые.

∆ Прежде чем делать какой-то общий вывод, всегда полезно посмотреть, верно ли утверждение для известных вам примеров. Так, например, при повороте плоскости на некоторый угол любые неколлинеарные векторы переходят также в неколлинеарные, т.е., действительно, линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. А при операторе проектирования пространства, например, на ось линейно независимые векторы и оба проектируются в , т.е. в линейно зависимые. Таким образом, утверждение, вообще говоря, неверно. Словесный оборот «утверждение, вообще говоря, неверно» означает, что оно иногда выполняется, а иногда – нет. ▲

Пример 15.6. На плоскости заданы две системы векторов: и . Существует ли линейный оператор , переводящий первую систему во вторую в следующих случаях:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ?

∆ В случаях а) и б) векторы и неколлинеарны, значит, образуют базис. На основании теоремы 8.1 такой оператор существует независимо от расположения векторов и .

В случае в) векторы и неколлинеарны, т.е. линейно независимы. Но векторы и коллинеарны, т.е. линейно зависимы. На основании свойства 3 такого оператора не существует.

В случае г) коллинеарны обе пары векторов. На первый взгляд противоречия нет. Если же посмотреть внимательнее, заметим, что . Для любого линейного оператора выполняется равенство . Но , значит, такого оператора не существует.

В случае д) коллинеарны обе пары векторов. Кроме того, , , противоречия нет. Покажем, что в этом случае линейный оператор существует. Выберем произвольный вектор , неколлинеарный , и произвольный вектор . Векторы и образуют базис, значит, существует линейный оператор такой, что , . При этом . Заметим, что в последнем случае искомый линейный оператор не только существует, но их бесконечно много. ▲

Пример 15.7. Зададим отображения трехмерного линейного пространства свободных векторов в себя следующим образом: для любого вектора положим:

, , .

Выяснить, какие из этих отображений являются линейными.

∆ Чтобы убедиться в линейности отображения следует доказать, что условия 1 и 2 из определения линейного оператора справедливы для произвольных векторов и и любого числа . Если же вы хотите показать, что отображение линейным не является, достаточно найти пару векторов и , для которых не выполняется условие аддитивности, либо вектор и число , для которых не выполняется условие однородности. Кроме того, можно показать, что не выполняется какое-либо из простейших свойств.

Проверим условия линейности для отображения . Заметим, что во всех трех случаях координаты образа являются функциями координат прообраза. Пусть и – произвольные векторы пространства . Тогда . Из условия видно: чтобы найти первую координату вектора следует к его первой координате прибавить удвоенную третью. Для нахождения первой координаты вектора те же операции проделываем с координатами вектора . Аналогичным образом поступаем со второй и третьей координатами, и в результате получаем:

=

;

.

Таким образом, – линейный оператор.

Рассмотрим два других отображения. Так как все координаты нулевого вектора равны нулю, то . Не выполняется второе свойство, отображение линейным не является. В записи отображения вызывает подозрение квадрат. Проверим выполнение условия однородности. Для упрощения проверки положим , . Так как , , то отображение линейным не является. ▲