Оптимальные фильтры сжатия сигналов

Условие оптимальности. Фильтр сжатия сигнала x(t), по существу, представляет собой фильтр формирования сигнала z(t) с эффективной шириной длительности, меньшей по сравнению с эффективной шириной длительности полезного сигнала s(t) во входном сигнале x(t). Расчет оптимального фильтра сжатия может выполняться непосредственно по выражениям (12.3.3).

В предельном случае сжатия сигнала до импульса Кронекера положим, что z(k)=d(k) при статистической независимости сигнала и шума. Отсюда:

B_sz(m) = d(m) ③ s(k+m) = s(-m).

h(n) ③ (Rs(m-n)+Rq(m-n)) = s(-m). (12.4.1)

H(w) = S*(w) / (|S(w)|²+W_q(w)). (12.4.2)

При некоррелированной помехе с дисперсией s² система уравнений для определения значений коэффициентов h(n):

h_o(R(0)+s²)+ h₁R(1)+ h₂R(2)+ h₃R(3)+...+ h_MR(M) = s(0), (12.4.3)

h_oR(1) + h₁R(0)+ h₂R(1)+ h₃R(2)+...+ h_MR(M-1) = 0,

h_oR(2) + h₁R(1)+ h₂R(0)+ h₃R(1)+...+ h_MR(M-2) = 0,

.............

h_oR(M) + h₁R(M-1)+ h₂R(M-2)+....... + h_MR(0) = 0.

При расчете коэффициентов фильтра значение s(0) обычно принимается произвольным, чаще всего равным площади сигнала s(t). Тем самым делается попытка полного сжатия площади сигнала до весовой функции Кронекера, что возможно только для сигналов со спектром в главном диапазоне до частоты Найквиста.

Рис. 12.4.1. Сжатие гладких сигналов с разным уровнем шумов.

Для гладких и монотонных функций со спектром в низкочастотной части главного диапазона сжатие до импульса Кронекера невозможно, и в зависимости от уровня шумов фильтр поднимает насколько возможно высокие частоты сигнала, учитывая значение уровня шумов. При этом нарушаются условия нормировки площади оператора фильтра к 1, о чем можно судить по значению передаточной функции H(w) при w=0, которое становится меньше 1, и при обратном преобразовании H(w) Þ h(m) оператор h(m) требует нормировки к 1. Все эти факторы можно наглядно видеть на рис. 12.4.1.

На рисунке приведены три сигнала с одной и той же базовой функцией, на которую наложены шумы разного уровня. При малом уровне шумов (сигнал х1) фильтр в максимальной степени использует высокие частоты сигнала (|H1| >>1 на этих частотах), сохраняя устойчивость работы фильтра при достаточно удовлетворительном (хотя и больше 1) коэффициенте усиления дисперсии помех при максимально возможном сжатии сигнала. При повышении уровня шумов (сигналы х2 и х3) подъем высоких частот сигнала уменьшается, и сжатие сигнала соответственно также уменьшается, предпочтение отдается максимальному подавлению шумов.

Рис. 12.4.2. Сжатие сигнала с высокочастотным спектром

На рис. 12.4.2. приведен пример сжатия сигнала, близкого к прямоугольному импульсу. Базовая функция сигнала s(k) имеет достаточно высокочастотный спектр мощности Ws(w), и при задании формы выходного сигнала сжатия в виде гауссовой функции z(k) передаточная функция фильтра H(w) обеспечивает уверенное сжатие сигнала (при уменьшении уровня шумов практически до заданной формы).

В пределе, при Wq=0 фильтр сжатия превращается в фильтр деконволюции:

H(w)= S*(w) / |S(w)|² = 1/S(w), (12.4.4)

На выходе такого фильтра имеем:

Y(w) = H(w)X(w) → 1, при X(w) → S(w).

Реализация фильтра возможна только при условии S(w) > 0 на всех частотах в главном частотном диапазоне. В противном случае, при S(w_i) → 0, H(w_i) → ∞ и фильтр становится неустойчивым. Для исключения возможности такого явления в фильтр (12.4.4) вводится стабилизатор a:

H(w) = S*(w) / [|S(w)|²+a], (12.4.5)

где |S(w)|²+a > 0 во всем частотном диапазоне.

Фильтры деконволюции могут использоваться не только для повышения разрешающей способности данных, но и для интерпретации геофизических данных, если формирование полезного входного сигнала удовлетворяет принципу суперпозиции данных по зависимости от искомых параметров.