Вполне непрерывные операторы

Пусть - банаховы пространства.

Определение. называется вполне непрерывным, если для любого ограниченный образ является относительным компактом в .

Таким образом, вполне непрерывный оператор удовлетворяет двум условиям

1. является непрерывным;

2. переводит каждое ограниченное множество в относительно компактное.

Так как относительная компактность отличается от ограниченности тем, что всякая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность, тем самым о вполне непрерывных операторах можно говорить, что они улучшают свойства множеств.

Утверждение 1 (критерий Хаусдорфа). является относительным компактом тогда и только тогда, когда для любого существует конечная сеть.

Утверждение 2. Непрерывный образ компакта является компактом. Т.е. если - компакт, - непрерывный оператор, то - компакт.

Теорема 1. Если и - конечномерное пространство, то любой ограниченный оператор является вполне непрерывным.

Теорема 2. Пусть пространства и бесконечномерны () и линейный ограниченный оператор обратим, т.е. существует оператор . Тогда не является вполне непрерывным.