Определение. Рассмотрим квадратную матрицу . Пусть для некоторого ненулевого вектора и числа l выполняется равенство
АХ = λ Х. (8)
Тогда вектор называется собственным вектором матрицы А, а числоназывается собственным значением этой матрицы.
Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением.
Определение. Корнем многочлена называется значение переменной, обращающее этот многочлен в нуль. Корнем матричного многочлена будет матрица, обращающая этот многочлен в нулевую матрицу.
Теорема 1. Собственные значения матрицы А являются корнями характеристического многочлена .
Верно и обратное: каждый корень характеристического многочлена матрицы А будет её собственным значением.
Теорема 2. Если – собственные значения матрицы А, то:
1)
2)
Эти равенства можно использовать в качестве проверки вычисленных собственных значений.
Теорема 3. (Теорема Гамильтона – Кэли).
Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, т. е. , где под нулём понимается нулевая матрица, а под свободным членом характеристического многочлена – этот свободный член, умноженный на единичную матрицу.
|
|
Пример 1. Найти собственные значения матрицы и проверить правильность решения по теореме 3. Проиллюстрировать теорему Гамильтона – Кэли.
Решение. Чтобы найти собственные значения, приравняем к нулю характеристический многочлен:
=0.
Корни квадратного уравнения: .
Сумма корней ; произведение корней .
Подставим матрицу А в характеристический многочлен:
.
В результате получили нулевую матрицу. Это и означает, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Пример 2. Показать, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Решение. ;
(.
Найдём характеристический многочлен матрицы:
.
Вычислим , для этого нужно найти
, и .
Тогда
.