2015-07-03
4110
Определение. Рассмотрим квадратную матрицу 
. Пусть для некоторого ненулевого вектора 
и числа l выполняется равенство
АХ = λ Х. (8)
Тогда вектор называется собственным вектором матрицы А, а числоназывается собственным значением этой матрицы.
Определение. Уравнение 
называется характеристическим уравнением.
Определение. Корнем многочлена называется значение переменной, обращающее этот многочлен в нуль. Корнем матричного многочлена будет матрица, обращающая этот многочлен в нулевую матрицу.
Теорема 1. Собственные значения матрицы А 
являются корнями характеристического многочлена 
.
Верно и обратное: каждый корень характеристического многочлена матрицы А будет её собственным значением.
Теорема 2. Если 
– собственные значения матрицы А, то:
1) 
2) 
Эти равенства можно использовать в качестве проверки вычисленных собственных значений.
Теорема 3. (Теорема Гамильтона – Кэли).
Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, т. е. 
, где под нулём понимается нулевая матрица, а под свободным членом характеристического многочлена – этот свободный член, умноженный на единичную матрицу.
Пример 1. Найти собственные значения матрицы 
и проверить правильность решения по теореме 3. Проиллюстрировать теорему Гамильтона – Кэли.
Решение. Чтобы найти собственные значения, приравняем к нулю характеристический многочлен:
=0.
Корни квадратного уравнения: 
.
Сумма корней 
; произведение корней 
.
Подставим матрицу А в характеристический многочлен:
.
В результате получили нулевую матрицу. Это и означает, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Пример 2. Показать, что матрица 
является корнем своего характеристического многочлена.
Решение. 
;
(
.
Найдём характеристический многочлен матрицы:
.
Вычислим 
, для этого нужно найти
, 
и 
.
Тогда
.
