2015-07-03
11233
Для нахождения собственных векторов преобразуем равенство (8)
АХ = λ Х,
перепишем его в виде
АХ − λ Х = 0, или АХ − λ ЕХ = 0 Þ
(А − λ Е) Х = 0. (9)
Здесь 0 – нулевая матрица. Перейдя к координатной форме, получим однородную систему линейных уравнений. В случае 
, где 
– собственные значения, её главный определитель равен нулю (
). Поэтому эта система обязательно имеет ненулевые (нетривиальные) решения, так как равный нулю определитель имеет пропорциональные строки, и 
:
(10)
Подставляя поочерёдно значения 
, полученные из характеристического уравнения, в уравнения системы (10), найдем n собственных векторов. Собственный вектор можно определить с точностью до постоянного множителя.
3.1. Случай 
Матричное уравнение (А − λ Е) Х = 0 имеет развёрнутую форму:
. (11)
Восстановим систему уравнений:
(12)
Это линейная однородная система. При 
и 
её главный определитель равен нулю. Поскольку частные определители содержат нулевые столбцы, они также равны нулю. По теореме Крамера эта система имеет бесчисленное множество решений. Ранг матрицы А − λ Е равен единице, и одно уравнение пропорционально другому, т.е. оно является лишним.
Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение:
.
Найдём собственные значения λ, решая уравнение 
. Его корни λ1 = 6, λ2 = –1. Это собственные значения матрицы А. Собственные векторы находятся из двух систем уравнений
и 
.
Главный определитель каждой из этих систем равен нулю. Поэтому каждая из этих однородных систем сводится к одному уравнению.
1) При λ1 = 6 имеем систему 
, которая сводится к уравнению 
. Из уравнения следует: 
, или 
. В качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению λ1 = 6, можно взять вектор 
. Подойдёт также любой вектор, кратный Х 1, например, 
или 
.
2) При λ 2 = –1 система имеет вид 
, она приводится к одному уравнению 
и 
. Собственный вектор, соответствующий данному собственному значению λ 2 = –1, 
(или любой вектор, кратный ему).
Ответ: 
, 
, , .
3.1. Случай 
Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение
.
Разложим определитель по элементам первой строки:
.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим уравнение третьей степени:
;
.
Чтобы решить это уравнение, поступим следующим образом. Методом подбора найдём один из корней уравнения λ1, которым может быть один из делителей свободного члена. Нетрудно убедиться в том, что λ1 = 3 есть корень уравнения. Это значит, что левая часть уравнения делится без остатка на разность (λ − 3), т. е. 
.
Определим два других корня из уравнения 
. По теореме Виета получим следующие два корня: λ2 = 6, λ3 = –2. Для нахождения собственных векторов нужно решить три системы уравнений, последовательно подставляя полученные собственные значения.
1) При λ1 = 3 имеем однородную систему уравнений
или 
Для решения системы составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к следующему виду
~ 
~ 
.
Поскольку две последние строки пропорциональны, одну из них можно удалить, тогда исходная система примет вид:
.
Решая эту систему, находим 
. Положим 
, тогда получим собственный вектор 
, соответствующий собственному значению λ1=3.
2) При λ2 = 6 имеем систему уравнений
.
Составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к следующему виду
~ 
~ 
.
Последнюю строку матрицы можно удалить, а вторую строку разделить на (–4), тогда придём к системе двух уравнений с тремя неизвестными, одно из которых может быть выбрано произвольно:
.
Пусть , тогда 
, 
. Собственный вектор 
.
3) Точно так же находим собственный вектор 
, соответствующий собственному значению λ3 = –2.
Следует заметить, что матрица преобразования А в данном примере является симметрической, так как её элементы, расположенные над главной и под главной диагональю, одинаковы. В этом случае, в чём легко убедиться, собственные векторы взаимно ортогональны:
,
,
.
Ответ: λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = –2, , , .
