Розрахунок розподілу температури в обмеженому металевому стержні після алмазно–абразивної обробки його торцевих поверхонь

Задача 6*

Для розрахунку розподілу температури в обмеженому металевому стержні після алмазно-абразивної обробки його торцових поверхонь було отримане наступне рівняння теплопровідності:

, 0 < x < l (5.1)

з початковою умовою (5.2)

і граничними умовами , (5.3)

, (5.4)

де а₀² – коефіцієнт температуропровідності матеріалу стержня;

l – довжина стержня;

j(х) – початковий розподіл температури в стержні

Для заданих а₀², l і j(х) одержати методом поділу змінних аналітичний вираз для Т(x, t).

Розрахувати розподіл температури по довжині стержня для різних моментів часу t_i (i = 1, 2, 3).

Із-за швидкої збіжності отриманого ряду в розрахунках обмежитись n=30 членами цього ряду.

Розрахунки представити у вигляді графіків залежностей температури від довжини різця в різні моменти часу.

При розв‘язані задачі рекомендується використовувати наступний алгоритм.

Для розрахунку розподілу температури в обмеженому металевому
стержні після алмазно–абразивної обробки його торцевих поверхонь задається наступне рівняння теплопровідності:

при ,

з початковою умовою: ;

і граничними умовами: , ,

де а₀² – коефіцієнт температуропроводності матеріалу стержня, м²/с;

l – довжина стержня, м;

Т₀ – початкова температура стержня, °С.

Для розв‘язання рівняння теплопровідності використовується метод розділення змінних: .

В результаті перетворень знаходиться загальне рішення, що задовольняє
рівнянню теплопровідності:

Далі, методом косинус-перетворення Фур‘є, знаходиться кінцевий розв‘язок задачі, що задовольняє вихідній умові рівняння:

, де

Остаточний розв‘язок задачі теплопровідності має вигляд:

[°С].

Варіанти задачі 6

№ варіанту	t1, c	t2, c	t3, c	а02, м2/с	j (x)	l, м
	0,2	0,9	1,8	8 . 10-5	104.х2 + 200	8 . 10-2
	0,6	1,2	2,0	4 . 10-5	104.х2 + 400	5 . 10-2
	0,8	1,4	2,2	7 . 10-5	4.103.х	9 . 10-2
	1,1	1,8	2,6	12 . 10-5	2.103.х	11 . 10-2
	0,6	1,4	2,8	8 . 10-5	104.х2	6 . 10-2
	0,9	1,9	3,1	9 . 10-5	2.103.х	8 . 10-2
	0,6	1,8	3,1	5 . 10-5	2.103.х	12 . 10-2
	0,5	0,9	1,8	8 . 10-5	104.х2 + 200	8 . 10-2
	0,4	1,2	2,0	4 . 10-5	104.х2 + 400	5 . 10-2
	0,3	1,4	2,2	7 . 10-5	4.103.х	9 . 10-2
	0,5	1,8	2,6	12 . 10-5	2.103.х	11 . 10-2
	0,2	1,0	2,8	8 . 10-5	104.х2	6 . 10-2
	0,6	0,8	3,1	9 . 10-5	2.103.х	8 . 10-2
	0,8	0,9	3,1	5 . 10-5	2.103.х	12 . 10-2
	1,1	1,2	3,2	8 . 10-5	104.х2 + 200	8 . 10-2
	0,6	1,4	3,0	4 . 10-5	104.х2 + 400	5 . 10-2
	0,9	1,8	2,8	7 . 10-5	4.103.х	9 . 10-2
	0,6	1,6	1,8	12 . 10-5	2.103.х	11 . 10-2
	0,2	1,7	2,6	8 . 10-5	104.х2	6 . 10-2
	0,6	1,5	2,5	9 . 10-5	2.103.х	8 . 10-2
	0,8	1,4	2,4	5 . 10-5	2.103.х	12 . 10-2
	1,1	1,3	1,8	8 . 10-5	104.х2 + 200	8 . 10-2
	0,6	0,9	2,0	4 . 10-5	104.х2 + 400	5 . 10-2
	0,9	1,2	2,2	7 . 10-5	4.103.х	9 . 10-2
	0,6	1,4	2,6	12 . 10-5	2.103.х	11 . 10-2
	0,2	1,8	2,8	8 . 10-5	104.х2	6 . 10-2
	0,6	1,2	3,1	9 . 10-5	2.103.х	8 . 10-2
	0,8	1,1	3,1	5 . 10-5	2.103.х	12 . 10-2
	1,1	0,8	3,0	7 . 10-5	2.103.х	11 . 10-2
	0,6	0,9	3,2	12 . 10-5	104.х2	6 . 10-2

ЗАДАЧА 6

Визначення розподілу температури по товщині в обмеженому металевому стержні після алмазноабразивної обробки його торцевих поверхонь

Вхідні дані:

Визначаємо т е м п е р а т у р у т о н к о ї о п т и ч н о ї п л а с т и н и п р и о х о л о д ж е н і

5. Г р а ф і к з а л е ж н о с т і т е м п е р а т у р и в і д ч а с у т е р м і ч н о ї д і ї

6. Р е з у л ь т а т и р о з р а х у н к у т е м п е р а т у р и в к р а й н і х т о ч к а х р о з п о д і л у

* Рекомендується для парних варіантів денної та заочної форм навчання