Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось француз­скими учеными Ж.Био и Ф Саваром. Результаты этих опытов были обобщены физиком П.Лапласом.

Закон Био-Савара-Лапласа проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А (рис.3.2.1) индукцию поля dB, записывается в виде

(3.2.1)

где d - вектор, по модулю равный dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, г - модуль радиуса-вектора .

Направление d перпендикулярно d и , т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линии маг­нитной индукции (правилу правого винта): направление вращения винта дает направление d , если поступательное движение винта соответствует направле­нию тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением

(3.2.2)

где а - угол между векторами d и

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемо­го несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимися зарядами в отдельности

(3.2.3)

Расчет характеристик магнитного поля ( и ) по приведенным формулам в общем случае довольно сложен Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа совмест­но с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера:

1.Магнитное поле прямого тока - тока, текущего по тонкому, прямому проводу бесконечной длины (рис. 3.2.2).

В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одина­ковое направление, перпендикулярное "'^г плоскости чертежа. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол а, выразив через него все остальные величины.

Рис.3.2.2

Из рис.26 следует, что радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым. Подставив эти выражения в (3.2.2), получим, что магнитная индукция, создавае­мая одним элементом проводника, равна

(3.2.4)

Так как угол а для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до , то, согласно формулам (3.5) и (3.6),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

(3.2.5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводникас током.

Как видно из рис.3.2.3, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов d можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin a =l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то,

Рис.3.2.3

Тогда