Показательные неравенства

Пусть а – фиксированное число, такое, что а > 0 и . Рассмотрим неравенства

(1)

(2)

Область допустимых значений этих неравенств совпадает со всей числовой прямой, функция положительна и строго монотонна, следовательно, при неравенство (1) выполняется при любом х из области допустимых значений, а неравенство (2) не имеет решений. При приходится рассмотреть два случая: а > 1 и 1 > a > 0.

Пусть а > 1, тогда на всей числовой прямой функция является возрастающей (рис.1). Значение, равное b, она принимает в единственной точке , и поэтому решением неравенства (1) является все , а решением неравенства (2) – все .

Пусть , тогда на всей числовой прямой функция является убывающей (рис.2), и поэтому решением неравенства (1) являются все , а решением неравенства (2) – все , где .

Изобразим изложенное выше в виде следующей наглядной схемы

Пример 1.

Для каждого значения а решить неравенство

Решение.

Запишем неравенство в виде:

Ответ: при ; при ,

Таким образом, различные типы показательных неравенств сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим неравенство вида:

Решение.

Обозначив , получим . Пусть решение последнего неравенства имеет вид:

где и .

Тогда простейшее неравенство не имеет решений, а неравенство решается по схеме 1. Сразу выпишем в этом случае ответ.

Ответ: при , ;

при ,

Сформулируем в виде краткой схемы решение трех аналогичных показательных неравенств.

Заметим, что в предложенных выше схемах при решении неравенств многократно использовалось свойство положительности функции .

Пример.

Решить неравенство .

Решение.

Преобразуем неравенство . В обозначениях , неравенство примет вид:

Найдем корни соответствующего уравнения

, .

Причем

Значит неравенство равносильно совокупности

Ответ: .

Рассмотрим следующий тип неравенств: .

Решение.

Аналогично решается и неравенство вида .

Пример.

Решить неравенство

Решение.

По данной схеме неравенство равносильно совокупности двух систем:

Ответ:

Кроме предложенных выше видов неравенств, предлагается решить графически неравенства, которые нельзя решить аналитически.

Пример.

а)

б)

Решение.

а)

1. Построим графики функций и .

2. Найдем точки пересечения графиков функций .

3. Решением данного неравенства будут те значения х, для каждого из которых график функции лежит ниже графика .

Ответ:

б)

1. Построим график функций .

2. Найдем точки пересечения графиков функций.

Ответ: .

Приведем примеры решения аналогичного неравенства с дополнительным заданием.

Пример.

Найдите наибольшее целое решение неравенства.

Анализ неравенства показывает, что в левой его чести записана показательная функция, а в правой – многочлен первой степени. Из этого следует, что решение можно проводить функционально-графическим методом.

Наличие только одной точки пересечения графиков функций и следует из того, что первая функция убывает, а вторая возрастает на .

Решение.

Схематично изобразим графики функций и .

Из рисунка видно, что является корнем уравнения , так как . График показательной функции расположен выше графика линейной функции при . Наибольшим целым решением неравенства является число –1.

Ответ: –1.

Пример.

При каких значениях а значение выражения больше значения выражения при всех допустимых значениях х?

Решение.

1. Перейдем к одинаковому основанию степени в обоих выражениях:

2. Введем новую переменную . Ее наибольшее значение равно нулю, а при стремлении х к 1 эта переменная стремится к . В силу непрерывности функции получаем, что .

3. Относительно t получаем неравенство , или .

4. Абсцисса вершины параболы положительна, ветви направлены вверх. Значит, это неравенство верно при всех положительных t в том и только том случае, когда свободный коэффициент положителен. Следовательно,

Ответ: (-2; 2).

В следующем примере решение показательного неравенства является составляющей более сложной задачи, а именно, нахождения области определения логарифмической функции.

Пример.

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции лежат числа 20, 50, 70, но не лежат числа 2, 5, 7.

Решение.

. При область определения пуста. Рассмотрим два случая.

1) . Тогда .

Так как , то . Значит, . Но в этом промежутке лежат все положительные числа и, в частности, числа 2, 5, 7. Поэтому такие значения не удовлетворяют условию.

2) . Тогда . Так как , то . Значит, .

В этом промежутке лежат числа 20, 50, 70, только если его левый конец меньше 20. А для того, чтобы в нем не было чисел 2, 5, 7, нужно, чтобы левый конец был не меньше 7. Получается двойное неравенство на параметр .

Ответ: .

Рассмотрим следующий пример. В нем исследуется композиция (результат последовательного выполнения) трех базовых функций: показательной с основанием 3, затем с обратно пропорциональной зависимостью и, наконец, показательной с основанием 2.

Пример.

Найдите множество значений функции

Решение.

Функция определена при . Рассмотрим случай . По свойствам показательной функции с основанием 3, при неограниченном возрастании х величина также неограниченно возрастает от нуля к . Так как числитель дроби постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает, оставаясь положительными, то сама дробь убывает от к нулю, оставаясь положительной. Так как показательная функция с основанием 2 сохраняет характер монотонности, то получаем, что при таком изменении аргумента х функция у убывает от до . Значит, при положительных х данная функция принимает все значения от 1 до .

Аналогичным образом при убывании отрицательного аргумента х от нуля к величина убывает от нуля к –1, а значит, величина возрастает от к –1, оставаясь меньше –1. Так как показательная функция с основанием 2 сохраняет характер монотонности, то при таком изменении аргумента х функция у монотонно и непрерывно возрастает от 0 к . Значит, при отрицательных х данная функция принимает все значения от 0 до 0,5. Остается объединить ответы.

Ответ: .

Приведенное решение максимально точно соответствует характеру задания функции. Уж раз сама исследуемая функция есть результат последовательного выполнения трех различных элементарных композиций, то и множество ее значений следует искать последовательно на каждом поле выполняя необходимые вычисления.

В основу решения некоторых неравенств удается положить следующее простое наблюдение: если известно что, например, функция монотонно возрастает на своей области определения Е и , то множеством решений неравенства является множество . Докажем это утверждение.

Если и , то , то есть в точке неравенство не выполняется. Если же , то . То есть неравенство выполняется на множестве и только на нем. Что и требовалось доказать.

В случае неравенств с показательной функцией рассмотренное утверждение применяется, например, в следующей ситуации:

Решить неравенство

выполняется одна из двух систем условий:

1) или 2)

Решение

Приведем неравенство к виду:

Заменив , рассмотрим функцию

. Тогда .

Кроме того, оба основания

или ,

поэтому функция монотонно убывает в первом случае и монотонно возрастает в случае (2), как сумма двух функций монотонно убывает или монотонно возрастает для .