Задание С3

В за­да­че от уче­ни­ка тре­бу­ет­ся вы­пол­нить три задания. Их труд­ность возрастает. Ко­ли­че­ство бал­лов в целом со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству вы­пол­нен­ных за­да­ний (подробнее см. ниже). Ошиб­ка в решении, не ис­ка­жа­ю­щая ос­нов­но­го за­мыс­ла и не при­вед­шая к не­вер­но­му ответу, на­при­мер ариф­ме­ти­че­ская ошиб­ка при вы­чис­ле­нии ко­ли­че­ства кам­ней в за­клю­чи­тель­ной позиции, при оцен­ке ре­ше­ния не учитывается. Первое за­да­ние счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным полностью, если вы­пол­не­ны пол­но­стью оба пунк­та а) и б). Пункт а) счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным полностью, если пра­виль­но ука­за­ны все позиции, в ко­то­рых Петя вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом, и указано, каким дол­жен быть пер­вый ход. Пункт б) счи­та­ет­ся выполненным, если пра­виль­но ука­за­на позиция, в ко­то­рой Ваня вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом и опи­са­на стра­те­гия Вани, то есть показано, как Ваня может по­лу­чить кучу, в ко­то­рой со­дер­жит­ся нуж­ное ко­ли­че­ство камней, при любом ходе Пети. Первое за­да­ние счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным частично, если пра­виль­но ука­за­ны все позиции, в ко­то­рых Петя вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом, пра­виль­но ука­за­на позиция, в ко­то­рой Ваня вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом, и явно сказано, что при любом ходе Пети Ваня может по­лу­чить кучу, ко­то­рая со­дер­жит нуж­ное для вы­иг­ры­ша ко­ли­че­ство камней. От­ли­чие от пол­но­го ре­ше­ния в том, что явно не ука­за­ны ходы, ве­ду­щие к выигрышу. Второе за­да­ние выполнено, если пра­виль­но ука­за­ны обе позиции, вы­иг­рыш­ные для Пети, и опи­са­на со­от­вет­ству­ю­щая стра­те­гия Пети — так, как это на­пи­са­но в при­ме­ре решения, или дру­гим способом, на­при­мер с по­мо­щью де­ре­ва всех партий, воз­мож­ных при вы­бран­ной стра­те­гии Пети. Третье за­да­ние выполнено, если пра­виль­но ука­за­на позиция, вы­иг­рыш­ная для Вани, и по­стро­е­но де­ре­во всех партий, воз­мож­ных при Ва­ни­ной стратегии. Долж­но быть явно сказано, что в этом де­ре­ве в каж­дой позиции, где дол­жен хо­дить Петя, разо­бра­ны все воз­мож­ные ходы, а для позиций, где дол­жен хо­дить Ваня, — толь­ко ход, со­от­вет­ству­ю­щий стратегии, ко­то­рую вы­брал Ваня. Во всех слу­ча­ях стра­те­гии могут быть опи­са­ны так, как это сде­ла­но в при­ме­ре решения, или дру­гим способом.

Два иг­ро­ка, Петя и Ваня, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежит куча кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Петя. За один ход игрок может: до­ба­вить в кучу один ка­мень (дей­ствие А) или утро­ить ко­ли­че­ство кам­ней в куче, а затем убрать из кучи один ка­мень (дей­ствие Б). На­при­мер, имея кучу из 10 кам­ней, за один ход можно по­лу­чить кучу из 11 или 29 кам­ней. У каж­до­го иг­ро­ка, чтобы де­лать ходы, есть не­огра­ни­чен­ное ко­ли­че­ство кам­ней. Игра за­вер­ша­ет­ся в тот мо­мент, когда ко­ли­че­ство кам­ней в куче ста­но­вит­ся более 32. По­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход, то есть пер­вым по­лу­чив­ший кучу, в ко­то­рой будет 33 или боль­ше кам­ней. В на­чаль­ный мо­мент в куче было S кам­ней, 1 ≤ S ≤ 32.

Го­во­рят, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка. Опи­сать стра­те­гию иг­ро­ка — зна­чит опи­сать, какой ход он дол­жен сде­лать в любой си­ту­а­ции, ко­то­рая ему может встре­тить­ся при раз­лич­ной игре про­тив­ни­ка.

Вы­пол­ни­те сле­ду­ю­щие за­да­ния. Во всех слу­ча­ях обос­но­вы­вай­те свой ответ.

1. а) При каких зна­че­ни­ях числа S Петя может вы­иг­рать пер­вым ходом? Ука­жи­те все такие зна­че­ния и вы­иг­ры­ва­ю­щий ход Пети.

б) Ука­жи­те такое зна­че­ние S, при ко­то­ром Петя не может вы­иг­рать за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может вы­иг­рать своим пер­вым ходом. Опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Вани.

2. Ука­жи­те два зна­че­ния S, при ко­то­рых у Пети есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, причём Петя не может вы­иг­рать пер­вым ходом, но Петя может вы­иг­рать своим вто­рым ходом не­за­ви­си­мо от того, как будет хо­дить Ваня. Для ука­зан­ных зна­че­ний S опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Пети.

3. Ука­жи­те такое зна­че­ние S, при ко­то­ром

– у Вани есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, поз­во­ля­ю­щая ему вы­иг­рать пер­вым или вто­рым ходом при любой игре Пети, и при этом

– у Вани нет стра­те­гии, ко­то­рая поз­во­лит ему га­ран­ти­ро­ван­но вы­иг­рать пер­вым ходом.

Для ука­зан­но­го зна­че­ния S опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Вани. По­строй­те де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при этой вы­иг­рыш­ной стра­те­гии Вани (в виде ри­сун­ка или таб­ли­цы). На рёбрах де­ре­ва ука­зы­вай­те, кто де­ла­ет ход, в узлах — ко­ли­че­ство кам­ней в по­зи­ции.

Пояснение.

1. а) Петя может вы­иг­рать, если S = 12, …, 32. При мень­ших зна­че­ни­ях S за один ход нель­зя по­лу­чить кучу, в ко­то­рой не менее 33 кам­ней. Пете до­ста­точ­но уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в 3 раза и от­нять ка­мень (дей­ствие Б). При S < 12 по­лу­чить за один ход боль­ше 32 кам­ней не­воз­мож­но.

б) Ваня может вы­иг­рать пер­вым ходом (как бы ни играл Петя), если ис­ход­но в куче будет S = 11 кам­ней. Тогда после пер­во­го хода Пети в куче будет 12 или 32 кам­ней. В обоих слу­ча­ях Ваня вы­пол­ня­ет дей­ствие Б и вы­иг­ры­ва­ет в один ход.

2. Воз­мож­ные зна­че­ния S: 4, 10. В этих слу­ча­ях Петя, оче­вид­но, не может вы­иг­рать пер­вым ходом. Од­на­ко он может по­лу­чить кучу из 11 кам­ней (при S = 4 он вы­пол­ня­ет дей­ствие Б; при S = 10 — до­бав­ля­ет один ка­мень (вы­пол­ня­ет дей­ствие А)). Эта по­зи­ция разо­бра­на в п. 1 б. В ней игрок, ко­то­рый будет хо­дить (те­перь это Ваня), вы­иг­рать не может, а его про­тив­ник (то есть Петя) сле­ду­ю­щим ходом вы­иг­ра­ет.

3. Воз­мож­ное зна­че­ние S: 9. После пер­во­го хода Пети в куче будет 10 или 26 кам­ней. Если в куче ста­нет 26 кам­ней, Ваня вы­пол­нит дей­ствие Б и вы­иг­ра­ет своим пер­вым ходом. Си­ту­а­ция, когда в куче 10 кам­ней, разо­бра­на в п. 2. В этой си­ту­а­ции игрок, ко­то­рый будет хо­дить (те­перь это Ваня), вы­иг­ры­ва­ет своим вто­рым ходом.

В таб­ли­це изоб­ра­же­но де­ре­во воз­мож­ных пар­тий при опи­сан­ной стра­те­гии Вани. За­клю­чи­тель­ные по­зи­ции (в них вы­иг­ры­ва­ет Ваня) подчёрк­ну­ты. На ри­сун­ке это же де­ре­во изоб­ра­же­но в гра­фи­че­ском виде (оба спо­со­ба изоб­ра­же­ния де­ре­ва до­пу­сти­мы).