Краткие теоретические сведения

Аппроксимация

Цель работы: изучить основные возможности приложения Microsoft Excel 2010 для аппроксимации экспериментальных данных.

Краткие теоретические сведения

В инженерной практике часто приходиться иметь дело с таблицей численных значений экспериментальных данных, отражающих некоторую функциональную зависимость y _i = f (x _i). С численными значениями такой зависимости в большинстве случаев работать неудобно, поэтому с помощью различных методов пытаются подобрать такую формулу

y = φ(x), график которой наиболее точно отражает зависимость y _i = f (x _i). Такая замена табличных значений зависимости y _i = f (x _i) аналитической функцией y = φ(x) называется аппроксимацией, а функция φ(x) – аппроксимирующей функцией.

С одной стороны, для удобства работы с аппроксимирующей функцией она должна быть как можно более простой, с другой – увеличение точности аппроксимации требует применения более сложной аппроксимирующей функции. Поэтому задача аппроксимации в общем случае является творческой и во многих случаях ее успешное решение зависит как от характера зависимости y _i = f (x _i), так и от знаний и опыта инженера.

На практике чаще всего в качестве простейших аппроксимирующих функций используют:

· линейную y = φ(x) = ax + b; (1)

· степенную y = φ(x) = ax ^b; (2)

· логарифмическую y = φ(x) = a ln(x) + b; (3)

· экспоненциальную y = φ(x) = ae ^bx. (4)

Как нетрудно видеть, функции (1) – (4) содержат всего по два коэффициента аппроксимации: a и b. Если эти функции не обеспечивают требуемой точности аппроксимации, количество коэффициентов необходимо увеличить и использовать более сложные функции. В большинстве случаев переходят к использованию полиномиальной аппроксимации

y = φ(x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³ + … + a _n x ⁿ. (5)

Применение полиномиальной аппроксимации (5) позволяет путем увеличения степени полинома и, соответственно, количества коэффициентов повысить точность аппроксимации.

Для оценки точности аппроксимации используется коэффициент корреляции Пирсона, который вычисляется по формуле

. (6)

В приложении Microsoft Excel для оценки точности аппроксимации используется квадрат коэффициента корреляции (6) – достоверность аппроксимации R ². Чем величина R ² ближе к единице, тем аппроксимация точнее.

Пример

Используя все виды функций (1) – (5) аппроксимировать экспериментальную зависимость y _i = f (x _i), представленную таблицей

Таблица 5.1

Экспериментальные данные

X i
Y i

Пользуясь величиной достоверности аппроксимации R ² найти наилучшую среди аппроксимирующих функций (1) – (4), имеющих по два коэффициента, и сравнить ее с полиномиальной аппроксимацией (5). Сделать выводы.