Определение параметров градуировки монохроматора УМ-2 методом наименьших квадратов (МНК)

Построение системы уравнений МНК

Для построения системы уравнений метода наименьших квадратов линеаризуем уравнение (3.1). Для i-го измерения будем иметь:

a = (θ _i – θ ₀) (λ _i – λ ₀)

или

a = θ _i λ _i – θ _i λ ₀ – θ ₀ λ _i + θ ₀ λ ₀.

Переобозначив переменные получим:

θ_i·λ _i – θ _i ·A – λ _i ·B + С = 0, (3.2)

где A = λ ₀; B = θ ₀; С = θ ₀ ·λ ₀ – a.

Составим систему уравнений для определения коэффициентов уравнения (3.2). Для этого просуммируем соотношение (3.2) по всем N экспериментальным точкам и найдем условие минимума полученной суммы. Суммирование дает:

. (3.3)

Дифференцирование суммы по параметрам дает систему уравнений:

(∂ψ/∂A)/2 = 0; ASθ_i² + BSθ_iλ_i – CSθ_i = Sλ_iθ_i²;

(∂ψ/∂B)/2 = 0; ASθ_iλ_i + BSλ_i² – CSλ_i = Sλ_i²θ_i; (3.4)

(∂ψ/∂С)/2 = 0; ASθ_i + BSλ_i – CN = Sλ_iθ_i,

где N – количество длин волн, использовавшихся при градуировке.