Параллельное соединение

Запишем уравнения системы, с учетом особенностей соединения, указанных на рис. 2.а.

отсюда

;

.

Окончательно матрицы соединения имеют вид –

.

2. Последовательное соединение –

y = C ₂ x ²;

в матричном виде –

;

;

окончательно, имеем

.

3. Обратная связь –

y = C ₁ x ¹;

в матричном виде –

;

.

Следовательно,

.

Для линейных систем справедливо следующие правило, называемое принципом суперпозиции: эффект, вызываемый суммой нескольких воздействий, равен сумме нескольких воздействий, равен сумме эффектов от нескольких воздействий в отдельности. Закон изменения вектора состояний линейной системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного колебания

x (t) = x_c (t) + x_в (t).

Свободное движение x_c (t) происходит при отсутствии внешнего воздействия в ненулевых начальных условиях. Оно определяется решением однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению состояний

с начальными условиями x (t ₀) = x ₀.

Вынужденное движение x_в (t) – это реакция системы на внешнее воздействие u (t) при нулевых начальных условиях. Оно определяется решением неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях.

Для многомерных нестационарных систем, описываемых соотношениями, поведение векторов состояния и выхода определяется по формулам

(2)

(3)

где Ф(t,t) – переходная матрица, или матрица Коши, являющаяся решением уравнения

, (4)

с начальным условием .

Первые слагаемые в (2), (3) описывают свободное движение, а вторые - вынужденное.

Для многомерных стационарных систем, описываемых уравнениями (1), законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по формулам

где Ф(t – t) – переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности t – t. В данном случае решение уравнения (4) имеет вид

.

Одними из важнейших задач теории управления является исследование управляемости и наблюдаемости динамических систем. Сформулируем соответствующие определения и критерии для стационарных линейных систем.

Система называетсявполне управляемой, если выбором управляющего воздействия u (t) на интервале времени [ t ₀, t ₁] можно перевести систему из любого начального состояния х (t ₀) в произвольное заранее заданное конечное состояние x (t ₁).

Система называетсявполне наблюдаемой, если по реакции у (t ₁) на выходе системы на интервале времени [ t ₀, t ₁] при заданном управляющем воздействии u (t) можно определить начальное состояние х (t ₀).

Критерий управляемости линейных систем. Для того чтобы система была вполне управляемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости

M_U = (В АВ А²В … А^n–1В)

равнялся размерности вектора состояния:

rang M_U = n.

Критерий наблюдаемости линейных систем. Для того чтобы система была вполне наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости

M_Y = (C^T A^TC^T (A^T)² C … (A^T) ^n–1C^T)

равнялся размерности вектора состояния:

rang M_Y = n.

Использование Control System Toolbox

Для решения задачи используется пакет прикладных программ Control System Toolbox среды MATLAB. В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в пространстве состояний. Синтаксис команды, создающий непрерывную LTI (Linear Time Invariant)-систему в виде ss-объекта c одним входом и одним выходом

SS(A, B, C, D)

В эту функцию в качестве параметров передаются матрицы уравнений состояний и выходов вида

в связи с тем, что рассматривается модель вида (1), то матрица динамики D будет нулевой.

Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в таблице 1.

Таблица 1. Некоторые команды Control System Toolbox

Синтаксис	Описание
ctrb(LTI-объект>) ctrb(A, B)	Формирование матрицы управляемости
obsv(<LTI-объект>) obsv(A, C)	Формирование матрицы наблюдаемости
parallel(<LTI1>,<LTI2>)	Параллельное соединение
series(<LTI1>,<LTI2>)	Последовательное соединение
feedback(<LTI1>,<LTI2>)	Соединение обратной связью
append(<LTI1>, …, <LTIN>)	Объединение систем
connect(<sys>,<Con>,<in>,<out>)	Установление связей в соединении

Для получения результатов вычисления матриц, результирующей системы, по структурной схеме, воспользуемся последними двумя командами.

Функция append создает объект sys, представляющий собой объединение всех подсистем. При этом первый входной сигнал первой системы становится входом номер 1, второй входной сигнал первой системы – номер 2, и т.д. далее идут входы второй системы, и т.д.; аналогично определяются и выходы.

В функции connect – параметр <Con> определяет матрицу связей по структурной схеме. Матрица формируется по следующему правилу: каждая строка представляет собой один вход системы sys, первый элемент – номер входа (в соответствии с порядком в команде append), затем идут номера выходов, которые суммируются и подаются на рассматриваемый вход. Параметры <in>, <out> – строки из номеров входов и выходов соединения, являющиеся внешними.

Например, для последовательного соединения двух систем (рис. 2.б):

sys1= ss(A1, B1, C1, 0)

sys2= ss(A2, B2, C2, 0)

sys=append (sys1, sys2)

sysc=connect(sys, [2 1], [1], [2])

В этом случае на вход второй системы (общий вход номер 2), поступает выход первой (общий выход номер 1); вход первой системы (номер один) и выход второй системы (номер два) являются внешними.

Пример

Даны три линейные стационарные системы:

1. ;

2. ;

3. ;

и структурная схема соединения систем:

1. Приведем систему 3 к виду (1), для этого введем переменные

;

и, подставляя их в исходные уравнения, получим –

; ; .

2. Создадим матрицы первой системы –

>> A1=[7 3;2 1]

B1=[1 0; 0 2]

C1=[3 -2; 2 1]

A1 =
7 3
2 1

B1 =
1 0
0 2

C1 =
3 -2
2 1

Создавая, аналогично, матрицы двух других систем создадим ss-объекты:

>> A2=[1 2;3 2];

>> B2=[1 5; 2 1];

>> C2=[4 3];

>> A3=[0 1;2 3];

>> B3=[0; 4];

>> C3=[1 0];

>> s1=ss(A1, B1, C1,0)

a =

x1 x2
x1 7 3
x2 2 1

b =

u1 u2
x1 1 0
x2 0 2

c =

x1 x2
y1 3 -2
y2 2 1

d =

u1 u2
y1 0 0
y2 0 0

Continuous-time model.

>> s2=ss(A2, B2, C2,0)

a =

x1 x2
x1 1 2
x2 3 2

b =

u1 u2
x1 1 5
x2 2 1

c =

x1 x2
y1 4 3

d =

u1 u2
y1 0 0

Continuous-time model.

>> s3=ss(A3, B3, C3,0)

a =

x1 x2
x1 0 1
x2 2 3

b =

u1
x1 0
x2 4

c =

x1 x2
y1 1 0

d =

u1
y1 0

Continuous-time model.

3. Исследуем наблюдаемость и управляемость каждой системы, для чего построим соответствующие матрицы и посчитаем их ранги –

>> rank(obsv(A1,C1))

ans =

>> rank(ctrb(A2,B2))

ans =

>> rank(obsv(A2,C2))

ans =

>> rank(ctrb(A3,B3))

ans =

>> rank(obsv(A3,C3))

ans =

Видно, что во всех случаях ранги матриц управляемости и наблюдаемости совпадают с размерностями пространства состояний.

4. Получим систему, определяемую соединением.

Для корректного использования функции connect введем дополнительную систему, передаточная функция которой равна 1.

>> s4 = tf(1)

Transfer function:

>> sys=append(s1,s2,s3,s4);

>> Q=[2 -4 5; 3 1 0; 4 2 0; 5 2 0];

>> in=[1 5];

>> out=[3 4];

>> s_com=connect(sys,Q, in,out);

Обращаясь к данным объекта, можно получить матрицы А, В, С:

>> A=s_com.A;

>> B=s_com.B;

>> C=s_com.C;

4. Вычислим ранги матриц наблюдаемости и управляемости итоговой системы:

>> rank(ctrb(A,B))

ans =

>> rank(obsv(A,C))

ans =

Результаты показывают, что система управляема и наблюдаема.

Использование Control System Toolbox для анализа и синтеза САУ.

Конспект лекций по курсу "Программные средства для анализа и синтеза САУ "

Составитель Рогачев Геннадий Николаевич

Редактор В.Ф. Е л и с е е в а

Подписано в печать 10.07.05

Формат 60х84 1/16. Бум. тип №2

Печать офсетная.

Усл. п.л. 0,25. Усл. кр. отт. 0,25. Уч.-изд. л. 0,22

Тираж 100 экз. С-206

___________________________________________________

Самарский государственный технический университет

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Главный корпус