2015-07-21
1056РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ І СЕМЕСТРУ
ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ № 6
ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ
Обов’язкові завдання: 3; 4; 5; 7 а); 7 б).
Завдання 1. Використовуючи правило Лопіталя, знайти границі функцій.
В.26. а) 
; б) 
.
.
В.27. а) 
; б) 
.
В.28. а) 
; б) 
.
В.29. а) 
; б) 
.
В.30. а) 
; б) 
.
Завдання 2. Використовуючи правило Лопіталя, знайти границі функцій.
В.1. а) 
; б) 
.
В.2. а) 
; б) 
.
В.3. а) ; б) 
.
В.4. а) 
; б) 
.
В.5. а) ; б) 
.
В.6. а) 
; б) 
.
В.7. а) 
; б) 
.
В.8. а) ; б) 
.
В.9. а) 
; б) 
.
В.10. а) ; б) 
.
В.11. а) 
; б) 
.
В.12. а) 
; 
б) .
В.13. а) 
; б) 
.
В.14. а) ; б) 
.
В.15. а) 
; б) 
.
В.16. а) 
; б) 
.
В.17. а) 
; б) .
В.18. а) 
; б) .
В.19. а) 
; б) 
.
В.20. а) 
; б) 
.
В.21. а) 
; б) .
В.22. а) 
; б) 
.
В.23. а) 
; б) 
.
В.24. а) 
; б) 
.
В.25. а) 
; 
б) .
Завдання 3. Використовуючи правило Лопіталя, знайти границі функцій.
В.1. а) 
б) 
в) 
В.2. a) 
б) 
в) 
В.3. а) 
б) 
в) 
В.4. а) 
б) 
в) 
В.5. а) 
б) 
в) 
В.6. а) 
б) 
в) 
В.7. а) 
б) 
в) 
В.8. а) 
б) 
в) 
В.9. а) 
б) 
в) 
В.10. а) 
б) 
в) 
В.11. а) 
б) 
в) 
В.12. а) 
б) 
в) 
В.13. а) 
б) 
в) 
В.14. а) 
б) 
в) 
В.15. а) 
б) 
в) 
В.16. а) 
б) 
в) 
В.17. а) 
б) 
в) 
В.18. а) 
б) 
в) 
В.19. а) 
б) 
в) 
В.20. а) 
б) 
в) 
В.21. а) 
б) 
в) 
|
|
|
В.22. а) 
б) 
в) 
В.23. а) 
б) 
в) 
В.24. а) 
б) 
в) 
В.25. а) 
б) 
в) 
В.26. а) 
б) 
в) 
В.27. а) 
б) 
в) 
В.28. а) 
б) 
в) 
В.29. а) 
б) 
в) 
В.30. а) 
б) 
в) 
Завдання 4. Знайти інтервали монотоності, екстремуми функції, користуючись першою похідною.
В.1. 
. В.2. 
.
В.3. 
. В.4. 
.
В.5. 
. В.6. 
.
В.7. 
. В.8. 
.
В.9. 
. В.10. 
.
В.11. 
. В.12. 
.
В.13. 
. В.14. 
.
В.15. 
. В.16. 
.
В.17. 
. В.18. 
.
В.19. 
. В.20. 
.
В.21. 
. В.22. 
.
В.23. 
. В.24. 
.
В.25. 
. В.26. 
.
В.27.. 
. В.28.. 
.
В.29. 
. В.30. 
.
Завдання 5. Знайти найбільше та найменше значення функції у вказаному відрізку.
В.1. 
[-1; 4].
В.2. 
[-2; 1].
В.3. 
[-1; 3].
В.4. 
[-2; 1].
В.5. 
[-2; 2].
В.6. 
[-2; 1].
В.7. 
[-1; 1].
В.8. 
; [-5; 1].
В.9. 
[1; 6].
В.10. 
[0; 
].
В.11. 
[-3; 3].
В.12. 
[-2; 1].
В.13. 
[-1; 3].
В.14. 
[-1; 2].
В.15. 
[-2; 1].
В.16. 
[1; 3].
В.17. 
[-4; 0].
В.18. 
[-1; 3].
В.19. 
[0; 
].
В.20. 
[0; ].
В.21. 
[-1; 0].
В.22. 
[-1; 2].
В.23. 
[-1; 2].
В.24. 
[-7; 0].
В.25. 
[ 
2].
В.26. [5; 6].
В.27. 
[ 
8].
В.28. [1; 3].
В.29. 
[-1; 4].
В.30. 
[-1; 3].
Завдання 6. Задачі на пошук найбільших та найменших значень функцій.
В.1. Знайти сторони прямокутника найбільшої площі, який можна вписати у
еліпс.
В.2. З заліза виготовлений бак у формі циліндра (без кришки) об'ємом V з найменшими витратами матеріалу. Які розміри баку?
В.3. При даній довжині міцність балки прямокутного перерізу пропорційна ширині та квадрату висоти. Із циліндрового стовбура дерева діаметром d потрібно вирізати балку найбільшої міцності. Визначити ширину та висоту балки. (
, де h - це висота, х – ширина балки)
В.4. Визначити розміри вікна при заданому значенні Р, що має найбільшу міцність. Вікно має форму прямокутника, закінченого напівколом.
В.5. Число 66 представити у вигляді суми двох додатних доданків так, щоб добуток цих чисел був найбільшим.
В.6. Визначити максимальну площу рівнобедреного трикутника, бокова сторона якого l.
|
|
|
В.7. Довести, що із всіх прямокутників, що мають даний периметр 2 р, найбільшу площу має квадрат.
В.8. Необхідно виготовити закритий ціліндровий бак, об'ємом V. Якими повинні бути його розміри, щоб на його виготовлення пішло найменше матеріалу?
В.9. Дріт, довжиною l, зігнутий у прямокутник. Які розміри цього прямокутника, якщо площа його найбільша?
В.10. Знайти найбільший об'єм конуса, що має дану твірну l.
В.11. Які розміри має мати циліндр, повна поверхня якого дорівнює S, щоб його об'єм був найбільшим?
В.12. Матеріальна точка здійснює прямолінійний рух по закону
, де S – шлях в метрах, t – час в секундах. В який момент часу швидкість точки буде найбільшою?
В.13. Число 180 розбити на два доданки так, щоб вони відносились як 1:2, а добуток був найбільшим.
В.14. Переріз тунелю має форму прямокутника завершеного напівколом. Знаючи площу перерізу, визначити при яких умовах периметр перерізу буде найменшим.
В.15. Знайти найбільший об'єм циліндра, у якого повна поверхня дорівнює S.
В.16. Знайти сторони прямокутника найбільшої площі, який можна вписати у коло 
.
В.17. У сферу, радіусом R, вписати циліндр з найбільшим об'ємом.
В.18. Знайти висоту циліндра найбільшого об'єму, який можна вписати у даний прямий конус висоти Н.
В.19. Визначити розміри відкритого басейну з квадратним дном так, щоб при заданій загальній площі S його стін і дна, об'єм басейна був найбільшим.
В.20. У сферу, радіусом R, вписати циліндр з найбільшою бічною поверхнею.
В.21. На координатній площині дана точка 
, що лежить у першій чверті. Провести через цю точку пряму так, щоб трикутник, утворений з її осями координат у додатному напрямку, мав найбільшу площу.
В.22. У конус, об'ємом V, вписана піраміда. В її основі лежить рівнобедрений трикутник, у якого величина кута при вершині дорівнює λ. При якому значенні λ об'єм піраміди буде найбільшим?
В.23. Знайти сторони прямокутника найбільшого периметра, вписаного у напівколо радіуса R.
В.24. Знайти найбільшу швидкість прямолінійного руху матеріальної точки, якщо шлях 
.
В.25. Знайти прямокутник найбільшої площі, який можна вписати в трикутник з основою в і висотою h. (Одна сторона прямокутника лежить на основі трикутника).
В.26. Чому мають бути рівні радіус основи і висота прямого кругового конуса для того, щоб при даному об'ємі він мав найменшу бокову поверхню?
В.27. Визначити найбільшу площу рівнобедреного трикутника, вписаного у коло радіуса R.
В.28. Знайти найменшу довжину l паркану, за допомогою якого можна загородити ділянку у формі прямокутника із даною площею S, наближеної до стіни.
В.29. Знайти число яке б пербільшувало свій квадрат на максимальне значення.
В.30. Число 44 представити у вигляді суми двох додатних доданків так, щоб добуток цих чисел був найбільшим.
Завдання 7. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік.
В.1. а) 
б) 
в) 
В.2. а) 
б) 
в) 
В.3. а) 
б) 
в) 
В.4. а) 
б) 
в) 
В.5. а) 
б) 
в) 
В.6. а) 
б) 
в) 
В.7. а) 
б) 
в) 
. В.8. а) 
б) 
в) 
В.9. а) 
б) 
в) 
В.10. а) 
б) 
в) 
В.11. а) 
б) 
в) 
В.12. а) 
б) 
в) 
В.13. а) 
б) 
в) 
В.14. а) 
б) 
в) 
В.15. а) 
б) 
в) 
В.16. а) 
б) 
в) 
В.17. а) 
б) 
в) 
В.18. а) 
б) 
в) 
В.19. а) 
б) 
в) 
В.20. а) 
б) 
в) 
В.21. а) 
б) 
в) 
В.22. а) 
б) 
в) 
В.23. а) 
б) 
в) 
В.24. а) 
б) 
в) 
В.25. а) 
б) 
в) 
В.26. а) 
б) 
в) 
В.27. а) 
б) 
в) 
В.28. а) 
б) 
в) 
В.29. а) 
б) 
в) 
30. а) 
б) 
в) 
