Контрольная робота № 2

1. Доказать, что множество ограничено.

2. Дана последовательность с общим членом . Исполь-

зуя первое и второе определение предела, а) доказать, что ; б) будет ли эта последовательность монотонной; в) найти sup y_n и inf y_n.

3. Доказать, что функции y = sin x и y = tg x периодичны и определить их периоды.

4. При каких условиях параметрические уравнения

а) ; б) ; в) ; г)

определяют функцию y = f (x)? Найти явный вид этих функций, а также уравнение F (x, y) = 0, с помощью которых эти функции заданы неявно.

5. Найти пределы функций:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14)

6. Исследовать следующие функции на непрерывность, найти точки разрыва и определить их характер, в точках устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывности:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж)

з) .

7. Определить естественную область определения функции и изобразить ее на плоскости:

а) ; б) ; в) .

8. Используя метод сечения и линии уровней, построить график

функции

.

9. Для следующих функций найти точки разрыва и определить характер разрыва:

а) ; б) .

10. Найти производные следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) .

11. Найти уравнение касательной к кривой второго порядка , проходящей через точку .

12. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить следующие пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

13. Используя формулу Тейлора, вычислить с точностью до 0,001 сле-

дующие значения:

а) ; б) ; в) ; г) .

14.Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

а) ; б) .

15. Определить наибольшую площадь прямоугольного треугольника,

вписанного в круг радиуса R.

16. Построить графики следующих функций:

а) ; б) .

17. Найти полные дифференциалы функций:

а) ; б) .

18. Найти частные производные функции , заданной урав-

нением: а) ; б) .

19. Найти вторые частные производные следующих функций:

а) ; б) .

20. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в прямоугольнике .