Функции нескольких переменных: основные понятия

До сих пор мы занимались изучением функции одной переменной, т.е. изучением переменной, значения которой зависят от значений одной независимой переменной.

На практике часто приходится иметь дело с величинами, численные значения которых зависят от значений нескольких изменяющихся независимо друг от друга величин. Изучение таких величин приводит к понятию функции нескольких переменных. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Площадь прямоугольника есть функция двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – сторон прямоугольника и : .

Пример 2. Работа электрического тока на участке цепи зависит от разности потенциалов на концах участка, силы тока и времени : .

Пример 3. Температура , измеряемая в различных точках некоторого тела, есть функция от координат точки, в которой она измеряется, и от момента времени : .

Определение 1. Назовем n - мерной точкой упорядоченный набор из чисел . Числа называются координатами -мерной точки . Множество всевозможных -мерных точек назовем n-мерным пространством и будем обозначать его . Точку назовем началом координат в -мерном пространстве, а число – размерностью пространства.

Частные случаи:

1. – числовая прямая;

2. – плоскость;

3. – трехмерное пространство.

Определение 2. Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных

. (1)

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, – зависимой переменной, символ – закон соответствия.

Также как и функцию одной переменной функцию нескольких переменных можно задать явно – и неявно – .

Любую явную функцию нескольких переменных можно представить как функцию точки в -мерном пространстве: , где точка определяется набором ее координат.

Если каждой точке из области определения соответствует одно значение , то функция называется однозначной, в противном случае – многозначной.

Множество называется областью определения функции, оно является подмножеством -мерного пространства. Подобно промежутку область может быть замкнутой или о ткрытой в зависимости от того, содержит она свою границу или нет.

Естественной областью определения функции (1) называется множество точек , координаты которых однозначно обеспечивают вещественные и конечные значения функции . В дальнейшем, если дополнительные ограничения на изменение независимых переменных постановкой задачи не накладываются, под областью определения функции будем подразумевать ее естественную область определения.

Рассмотрим более подробно два частных случая, которые являются наиболее простыми и допускают геометрическую интерпретацию.

1. Функция двух переменных (n = 2)

Функцию двух переменных будем обозначать . Частное значение функции при , или в точке записывают в виде , , или .

Область определения функции есть подмножество точек координатной плоскости . В частности, областью определения функции может быть вся плоскость или часть плоскости, ограниченная линиями. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки плоскости, не лежащие на границе, будем называть внутренними.

Пример 4. Функция определена на всей плоскости .

Пример 5. Функции определена на всей плоскости, за исключением прямой .

Пример 6. Областью определения функции является множество точек плоскости , координаты которых удовлетворяют соотношению , т.е. круг радиуса 1 и с центром в начале координат. Область определения этой функции является замкнутой.

Следующий пример рассмотрим более подробно.

Пример 7. Найти область определения функции .

Решение.

Логарифм определен только при положительном значении аргумента, поэтому на аргументы имеется одно условие: .

Чтобы изобразить геометрически область , найдем сначала ее границу: . Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой расположена в точке , а ось направлена в положительную сторону оси .

Рис. 1.1

Парабола делит всю плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Для точек одной из этих частей выполняется неравенство , а для другой (на самой параболе ). Чтобы установить, какая из этих двух частей является областью определения данной функции, т.е. удовлетворяет условию , достаточно проверить это условие для какой-нибудь одной точки, не лежащей на параболе. Например, начало координат лежит внутри параболы и удовлетворяет нужному условию.

Следовательно, искомая область состоит из внутренних точек параболы. Сама парабола в область не входит, значит, область отрытая.

Определение 3.Окрестностью точки называется любой открытый круг, содержащий точку .

В частности, -окрестностью называется открытый круг с центром в точке и радиусом .

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.

При изучении функций нескольких переменных во многом используется уже разработанный математический аппарат для функции одной переменной. А именно: любой функции можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении функцию и при фиксированном значении функцию .

Следует иметь в виду, что хотя функции и имеют одно и то же "происхождение", вид их может существенно различаться.

Пример 9. Рассмотрим функцию . При функция является степенной, а при функция является показательной.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Как известно, функция одной переменной может быть изображена некоторой кривой на плоскости, если рассматривать значения ее аргумента как абсциссы, а значения функции как ординаты точек кривой.

Подобным же образом функция двух переменных может быть изображена графически.

Рассмотрим функцию , определенную в области на плоскости и систему прямоугольных декартовых координат . Каждой точке множества поставим в соответствие точку пространства , аппликата которой равна значению функции в точке : . Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которую естественно принять за графическое изображение функции .

Определение 4.Графикомфункции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , аппликата которых связана с абсциссой и ординатой функциональным соотношением .

Рис. 1.2.

Таким образом, графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость в область определения функции . Каждый перпендикуляр к плоскости пересекает поверхность не более чем в одной точке.

2. Функция трех переменных (n = 3)

Функцию трех переменных будем обозначать , при этом будем считать, что , и – независимые переменные (или аргументы), а – зависимая переменная (или функция).

Областью определения такой функции называется множество всех рассматриваемых троек чисел. Если функция задана аналитически, под ее естественной областью определения подразумевают совокупность всех троек чисел , для которых функция принимает действительные значения.

Определение 6.Окрестностью точки называется любая открытая сфера, содержащая точку .

В частности, -окрестностью называется открытая сфера с центром в точке и радиусом .

Изображая тройки чисел точками пространства , можно рассматривать функцию трех переменных как функцию точки пространства, а область определения функции трех переменных – как некоторое множество точек пространства.