Задача 10. Исследовать на экстремум функцию z = - 4 + 6x-х2 –ху- у2

Исследовать на экстремум функцию z = - 4 + 6x- х² – ху- у².

Решение: Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию z = f (x, у) на экстремум, необходимо:

1. Найти частные производные первого порядка и , приравнять их нулю и решить систему уравнений:

Каждая пара действительных корней этой системы опре­деляет одну стационарную точку исследуемой функции.

Пусть р_о (х₀ , у₀) одна из этих точек.

2. Найти частные производные второго порядка и вычислить их значения в каждой стационарной точке.

Положим, что

3. Составить и вычислить определитель второго порядка

4. Если в исследуемой стационарной точке р₀(x₀, y₀) D>0, то функция z = f(x, у) в этой точке имеет макси­мум при A<0 и минимум при A>0; если D<0, то в исследуемой точке нет экстремума.

Если D = 0, то вопрос об экстремуме требует допол­нительного исследования.

Находим стационарные точки заданной функции:

Решение системы даёт x₀= 4, y₀= -2.

Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку Ро(4, - 2).

Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:

Как видно, частные производные второго порядка не содержат х, они постоянны в любой точке и, в частности, в точке Р₀(4, -2). Имеем А = - 2; В = - 1; С=- 2.

Так как D>0 и A<0, то в точке Ро(4; -2) данная функ­ция имеет максимум:

9.10 Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте определения функции двух, трёх переменных. Каков геометрический смысл функции двух независимых переменных?

1. Что называется областью существования (определения) функции двух переменных?
2. Что называется пределом функции двух независимых переменных?
3. Сформулируйте определение непрерывности функции двух переменных в точке и в области.
4. Что называется частным приращением функции двух переменных? Полным приращением функции двух (нескольких) переменных?
5. Дайте определение частной производной функции двух (нескольких) переменных. Укажите геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
6. Что называется частным дифференциалом функции двух переменных и каков его геометрический смысл?
7. Что называется полным дифференциалом функции двух (нескольких) переменных? Каков геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?
8. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.
9. Что называется полной производной и как она находится?
10. В чём смысл инвариантности полного дифференциала функции двух (нескольких) переменных?
11. Сформулируйте правило дифференцирования неявной функции одной независимой переменной; двух независимых переменных.
12. Что называется частной производной второго порядка?
13. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка.
14. Сформулируйте теорему о независимости частной производной высшего порядка от последовательности дифференцирования.
15. Дайте определение максимума (минимума) функции двух переменных.
16. Сформулируйте необходимые условия экстремума функции двух переменных. Укажите геометрический смысл необходимого признака экстремума функции двух переменных.
17. Какие точки называются критическими и как они находятся?
18. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух независимых переменных.
19. Укажите способ отыскания наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в заданной замкнутой области.
20. Дайте определение производной в данном направлении.
21. Что называется градиентом функции двух переменных? Трёх переменных?
22. Напишите уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в данной точке.
23. В чём сущность подбора эмпирических формул по способу наименьших квадратов?