Фрактальная размерность

О фракталах говорят много. В Паутине созданы сотни сайтов, посвящённых фракталам. Но большая часть информации сводится к тому, что фракталы это красиво. Загадочность фракталов объясняют их дробной размерностью, но мало кто понимает, что же такое дробная размерность.

Где-то в 1996 меня заинтересовало, что же такое дробная размерность и каков её смысл. Каково же было моё удивление, когда я узнал, что это не такая уж сложная вещь, и понять её может любой школьник.

Я постараюсь изложить здесь популярно, что же такое дробная размерность. Чтобы компенсировать острый дефицит информации по этой теме.

Измерение тел

Сперва небольшое введение, чтобы привести наши бытовые представления об измерении тел в некоторый порядок.

Не стремясь к математической точности формулировок, давайте разберёмся, что же такое размер, мера и размерность.

Размер

Размер объекта можно померить линейкой. В большинстве случаев размер получается малоинформативен. Какая «гора» больше?

Если сравнивать высоты, то больше красная, если ширины — зелёная.

Сравнение размеров может быть информативным если предметы подобны друг другу:

Теперь какие бы размеры мы ни сравнили: ширину, высоту, сторону, периметр, радиус вписанной окружности или любые другие, всегда получится, что зелёная гора больше.

Далее мы будем говорить о подобных объектах, поэтому размер нам пригодится.

Мера

Мера тоже служит для измерения объектов, но она измеряется не линейкой. О том, как именно она измеряется мы ещё поговорим, а пока отметим её главное свойство — мера аддитивна.

Выражаясь на бытовом языке, при слиянии двух объектов, мера суммы объектов равна сумме мер исходных объектов.

Для одномерных объектов мера пропорциональна размеру. Если вы возьмёте отрезки длиной 1см и 3см, «сложите» их вместе, то «суммарный» отрезок будет иметь длину 4см (1+3=4см).

Для не одномерных тел, мера вычисляется по некоторым правилам, которые подбираются так, чтобы мера сохраняла аддитивность. Например, если вы возьмёте квадраты со сторонами 3см и 4см и «сложите» их (сольёте их вместе), то сложатся площади (9+16=25см²), то есть сторона (размер) результата будет 5см.

И слагаемые, и сумма являются квадратами. Они подобны друг другу и мы можем сравнивать их размеры. Оказывается, что размер суммы не равен сумме размеров слагаемых (5≄4+3).

Как же связаны мера и размер?

Размерность

Как раз размерность и позволяет связать меру и размер.

Давайте обозначим размерность — D, меру — M, размер — L. Тогда формула, связывающая эти три величины будет имеют вид:

M = L^D

Для привычных нам мер эта формула приобретает всем знакомые обличия. Для двухмерных тел (D=2) мерой (M) является площадь (S), для трёхмерных тел (D=3) — объём (V):

S = L², V = L³

Внимательный читатель спросит, по какому праву мы написали знак равенства? Ну хорошо, площадь квадрата равна квадрату его стороны, а площадь круга? Работает ли эта формула для любых объектов?

И да и нет. Вы можете заменить равенства на пропорциональности и ввести коэффициенты, а можете считать, что мы вводим размеры тел именно так, чтобы формула работала. Например для круга мы будем называть размером длину дуги равной корень из «пи» радиан. А почему нет?

В любом случае, наличие или отсутствие коэффициентов не изменит суть дальнейших рассуждений. Для простоты, я не буду вводить коэффициенты; если хотите, вы можете их добавить самостоятельно, повторить все рассуждения и убедиться, что они (рассуждения) не утратили своей справедливости.

Итого

Из всего сказанного нам следует сделать один вывод, что если фигуру уменьшить в N раз (отмасштабировать), то она будет укладываться в исходной N^D раз.

Действительно, если уменьшить отрезок (D=1) в 5 раз, то он поместится в исходном ровно пять раз (5¹=5); Если треугольник (D=2) уменьшить в 3 раза, то он уложится в исходном 9 раз (3²=9).

Если куб (D=3) уменьшить в 2 раза, то он уложится в исходном 8 раз (2³=8).

Верно и обратное: если при уменьшении размера фигуры в N раз, оказалось, что она укладывается в исходной n раз (то есть мера её уменьшилась в n раз), то размерность можно вычислить по формуле:

D = ln(n)/ln(N)