Уравнение Эйлера

Уравнение Эйлера, для нахождения доставляющих экстремум функционалу

(1)

имеет вид

(2)

где , .

В большинстве технических задач вариационного исчисления функции доставляющие экстремум (1) подчинены уравнениям объекта, т.е.

Для решения вариационной задачи используют метод неопределенных множителей Лагранжа. Суть этого метода состоит в том, что уравнение Эйлера (2) составляется для вспомогательных функций

(3)

где - множители Лагранжа, подлежащие определению; i=1,…,m; m=n-2.

Если условия, которым подчинены искомые функции, заданы в виде

(4)

где - заданные величины, то для решения задачи так же создаются вспомогательные функции.

(5)

не зависят от времени.

Пример:

Разворот искусственного спутника Земли на заданный угол:

Начальные и конечные скорости нулевые:

(2)

Уравнение объекта

u y

(1)

Задана величина отбрасываемого угла:

(3)

Введем обозначения:

¾ угол

¾ угловая скорость →

¾ ускорение

Тогда (I), (II), (III) можно переписать слeдующим образом:

(4)

(5)

(6)

Функционал, который нужно минимизировать выбором функции и , является

или с учетом (4)

(7)

Подынтегральная функция в минимальном функционале ,

а значение которого задано .

Образуем функцию F:

(8)

Составим уравнение Эйлера:

Окончательно имеем

или

(9)

Проинтегрируем (9)

(10)

Это закон изменения управляющего воздействия.

Повторно интегрируем (10). Найдем оптимальный процесс

(11)

В принципе задача решена, но для нахождения , , воспользуемся уравнениями (5) и (6).

Подставим в (11) , имеем

→

Подставим в (11) , имеем

(12)

Из (11):

(13)

Из (12) и (13) имеем

Окончательно можно записать

(14)

Графики, соответствующие (14), имеют вид

После отходим от нужного угла в положительную сторону. Т.е. получим программный режим.