Методические указания к решению контрольной работы №2 по теории игр

1. Статическая игра с полной информацией описывается следующей матрицей:

	L	C	R
T	6,4	7,2	3,3
M	5,1	6,3	6,2
B	3,4	8,2	5,3

Функции отклика Игроков 1 и 2 соответственно имеют вид:

Укажите соответствие между ветвями функций и значениями a,b,c,d,e и f

Укажите соответствие для всех 6 вариантов ответа:

1) L 2) C 3) R 4) T 5) M 6) B

__ a __ b __ c __ d __ e __ f

Пояснение. Рядом с каждым значением a,b,…f стоит выпадающий список из цифр 1,2,3,…,6 (совпадает с суммарным количеством стратегий обоих игроков; в частности, здесь на двоих игроков 6 стратегий, в других вариантах заданий может быть другое количество). Надо каждому значению a,b,…f поставить в соответствие номер стратегии из списка. Например, в приведенном задании стратегии L второго игрока соответствует стратегия T первого (это его наилучший ответ); следовательно, рядом со значением a указываем номер 4, соответствующий стратегии Т. И т. д.

1. Статическая игра с полной информацией описывается матрицей

	U	V	W	X	Y
P	4,7	7,8	9,0	3,7	1,6
Q	0,4	9,5	9,6	8,4	6,3
R	8,9	7,2	4,3	0,3	2,5
S	4,4	1,6	8,8	1,1	1,1
T	6,4	4,8	0,5	2,1	0,6

Укажите равновесия Нэша в чистых стратегиях в этой игре или их отсутствие

Выберите несколько из 8 вариантов ответа:

1) равновесия Нэша нет 2) (R,U) 3) (Q,W) 4) (P,V) 5) (Q,X) 6) (S,W) 7) (S,U) 8) (T,V)

Пояснение. Найти с помощью подчеркиваний наилучших ответов все равновесия Нэша и отметить их в списке возможных ответов.

3. В статической игре с полной информацией трех игроков игрок 1 выбирает стратегию из множества , игрок 2 - из множества , а игрок 3 - из множества . Найти множество равновесий Нэша, если функции выигрыша игроков заданы следующими парами матриц:

Выберите несколько из 9 вариантов ответа:

1) нет равновесий Нэша 2) (А₁,В₁,С₁) 3) (А₁,В₁,С₂) 4) (А₁,В₂,С₁) 5) (А₁,В₂,С₂) 6) (А₂,В₁,С₁)

7) (А₂,В₁,С₂) 8) (А₂,В₂,С₁) 9) (А₂,В₂,С₂)

Пояснение. Сначала выписать все исходы игры (их 8, они перечислены в вариантах ответов) и соответствующие им выигрыши игроков. При этом учесть, что А1 в любой матрице первая строка, А2 – вторая, В1 – первый столбец, В2 – второй, С1 – верхняя матрица, С2 – нижняя. Например, в исходе (А2, В1, С2) выигрыши игроков равны соответственно -1, -1, 2. Затем найти РН по определению, как это было сделано в игре с выбором тремя игроками орла или решки.

1. В статической игре с полной информацией, которая имеет следующую матричную форму

функция отклика 1-го игрока имеет общий вид:

Записать выражения по порядку для a, b и c (в английской раскладке клавиатуры, разделенные пробелами с граничным значением в форме правильной несократимой дроби, например, q<2/3 q=2/3 q>2/3; числа 0 или 1 записываются без дробной черты)

Пояснение. Записать средние выигрыши 1-го игрока отдельно по первой и второй стратегиям, а затем сравнить их (больше, меньше, равны) и правильно записать условия для трех ветвей функции отклика 1-го игрока. В середине обязательно стоит равенство, а слева и справа неравенства “>” или “<” в зависимости от условий. Для ветви b, естественно, должно быть точное равенство, а для ветвей а и с неравенства могут быть в любую сторону.

1. В статической игре с полной информацией, которая имеет следующую матричную форму

функция отклика 2-го игрока имеет общий вид:

Записать выражения по порядку для a, b и c (в английской раскладке клавиатуры, разделенные пробелами с граничным значением в форме правильной несократимой дроби, например, p<2/3 p=2/3 p>2/3; числа 0 или 1 записываются без дробной черты)

Пояснение. Выполнение аналогично предыдущему заданию, только касательно 2-го игрока.

1. В статической игре с полной информацией, которая имеет следующую матричную форму

записать вполне смешанное равновесие Нэша в формате (p,q), т.е. в скобках, в английской раскладке клавиатуры, разделенные запятой два значения в форме правильной несократимой дроби, например, (1/3,2/5); числа 0 или 1 записываются без дробной черты

Пояснение. Записать средние выигрыши 1-го игрока от двух его чистых стратегий и приравнять их между собой, в результате чего будет получено значение q; записать средние выигрыши 2-го игрока от двух его чистых стратегий и приравнять их между собой, в результате чего будет получено значение р.

1. Статическая игра с полной информацией представлена матрицей

Введите средний выигрыш 1-го игрока при вполне смешанном равновесии Нэша (с точностью до 0,001)

Запишите число:

Пояснение. Вычислить значения p и q, как в задании 6; затем взять в каждой клетке значение выигрыша 1-го игрока и умножить на значения смешанных стратегий игроков в этой клетке; средний выигрыш получается как сумма таких произведений по всем клеткам. Например, в первой клетке выигрыш игрока умножается на pq, во второй клетке – на p (1- q), и т. д. В некоторых заданиях требуется вычислить средний выигрыш 2-го игрока; выполнение аналогично для выигрышей 2-го игрока по каждой клетке матрицы.

1. Статическая игра с полной информацией представлена матрицей

Выберите правильный тип графического отображения функций отклика игроков в смешанных стратегиях для этой игры (т.е. в координатах p,q)

Выберите один из 8 вариантов ответа:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

Пояснение. В простейших случаях, когда в игре есть два чистых равновесия Нэша и графики функций отклика образуют наклоненную вправо или влево восьмерку, построение графиков не требуется. Однако в случаях отсутствия в игре чистых равновесий Нэша, когда графики представляют закрученную вправо или влево свастику, или при наличии у одного из игроков слабо доминирующей стратегии, построение графиков функций отклика необходимо (см. материалы лекции 5).