Примеры решения неравенств методом рационализации

Метод рационализации

№	Выражение F	Выражение G
	-	(а –1)(v – φ)
1a
1б
	-
2a		)
2б
	(
4a

Примеры решения неравенств методом рационализации

Пример 1. Решите неравенство log _2x+3 x² < 1.

Решение. Запишем неравенство в виде log_2x+3x² – 1< 0 и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

(2x + 2)(x² – 2x – 3) < 0

2x + 3 > 0

x ≠ 0

(x + 1)(x + 1)(x – 3) < 0

x > 1,5

x ≠ 0

Ответ: (-1.5; -1) (-1; 0) (0; 3).

Пример 2. Решите неравенство log_|x+2|(4 + 7x – 2x²) ≤ 2.

Решение. Запишем нераенство в виде log_{|x + 2|}(4 + 7x – 2x²) – log_{|x + 2|}(x + 2)² ≤ 0 и заменим равносильной системой, используя метод рационализации

(|x + 2| - 1)(4 + 7x – 2x² – x² – 4x – 4) ≤ 0

4 +7x - 2x² > 0

x + 2 ≠ 0

((x + 2)² – 1)(-3x² + 3x) ≤ 0

(x + 0,5)(x – 4) < 0

x ≠ 2

x(x + 1)(x + 3)(x – 1) ≥ 0

(x + 0,5)(x – 4) < 0

x ≠ 2

+ - + - + х

● ● ● ●

-3 -1 0 1

+ - + х

° °

-0,5 4

Ответ: (-0,5; 0] [1; 4).

Пример 3. Решите неравенство ≥ 0.

Решение. Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

> 0

3 – x > 0

x > 0

x ≠ 3

x ≠ 1

(x – 3)(x – 1)( - 1) ≥ 0

(x – 1)( - 1) > 0

x > 0

x ≠ 3

x ≠ 1

(x – 1)(3 – x –x²) ≤ 0

(x – 1)(3 – x – 1) > 0

x < 3

x > 0

x ≠ 1

1 < x < 2

< 2.

При решении неравенства (х – 1)(х – 2) < 0 системы учтены условия x < 3, x > 0, x ≠ 1. Условие 1 < x < 2 позволяет исключить множитель x – 1 > 0 в первом неравенстве системы.

Ответ: .

Пример 4. Решите неравенство log_12x²_-41+35(3 – x) ≥ log_2x²_-5x+3(3- x).

Решение. Запишем неравенство в виде log_12x²_-41+35(3 – x) - log_2x²_-5x+3(3- x) ≥ 0 и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

(12x² – 41x + 34)(2x² – 5x + 2)(2 – x)(-10x² + 36x – 32) ≥ 0

12x² – 41x + 35 > 0

2x² – 5x + 3 > 0

12x² – 41x + 34 ≠ 0

2x² – 5x + 2 ≠ 0

3 – x > 0

(x – 2)⁴(x -

(x - > 0

(x – 1)(x - > 0

(x -

(x – 2)(x -

x < 3

Для решения первых трёх неравенств системы используем метод интервалов.

Ответ:

Пример 5. Найдите все значения а, при которых неравенство log_a(x² + 4) > 1 выполняется для всех значений х.

Решение. Используя метод рационализации, запишем данное неравенство равносильной системой

(а – 1)(х² + 4 - а) > 0

a > 0

a ≠ 1

Для решения первого неравенства системы используем метод областей.

1) Обозначим F (x,a) = (a – 1)(х² + 4 - а).

2) Для выражения F (x,a) переменные х и а принимают любые значения.

3) F (x, a) = 0, (а – 1)(х² + 4- а) = 0, отсюда а = 1 или а = х² + 4.

4) Имеем прямую и параболу, которые разбивают координатную плоскость на области, в каждой из которых выражение F (x,a) сохраняет знак.

Возьмём контрольную точку (0; 0). F (0,0)= - 4< 0. Ставим знак минус в области, содержащей точку (0; 0). В остальных областях расставляем знаки, используя правило знакочередования. Множество точек, координаты которых удовлетворяют первому неравенству системы, выделены цветом. Условия а > 0, а ≠ 1 учтены. Проводя прямые, параллельные оси Ох, видим, что полностью прямые находятся в заштрихованной области при а .

Ответ: .