Решение

Пусть в пространстве имеется некоторая область , в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области задано скалярное поле, а функцию называют функцией поля.

Подставим и в функцию поля, которая дана в нашем примере:

Мы записали функцию поля в виде .

Градиентом скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, координаты которого совпадают со значениями соответствующих частных производных этой функции:

, или .

Частная производная функции нескольких переменных – это производная функции одной переменной, когда значение остальных переменных фиксировано.

Чтобы найти градиент в нашем примере, вычислим частные производные функции поля:

Поэтому градиент скалярного поля равен:

или

Производной функции в точке по направлению (обозначают ) называется предел отношения приращения функции в направлении к величине приращения при :

.

Формула для вычисления производной по направлению:

, где – направляющие косинусы (косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат). Для вектора с координатами направляющие косинусы равны:

Вектор , по направлению которого требуется найти производную скалярного поля, задан координатами начала и конца. Чтобы найти координаты этого вектора, из координат конца вычтем координаты начала. Соответствующие разности будут координатами вектора :

или

Найдём значения частных производных в точке :

Найдём длину вектора : , тогда

Подставим значения частных производных и направляющих косинусов в формулу для нахождения производной по направлению:

Ответ:

;