Решение задач линейного программирования графическим методом

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 22x₁+40x₂ → max, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 2x₁+3x₂ = 298 по двум точкам.
Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 99.33. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 149. Соединяем точку (0;99.33) с (149;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 2 • 0 + 3 • 0 - 298 ≤ 0, т.е. 2x₁+3x₂ - 298≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 6x₁+2x₂ = 600 по двум точкам.
Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 300. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 100. Соединяем точку (0;300) с (100;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 6 • 0 + 2 • 0 - 600 ≤ 0, т.е. 6x₁+2x₂ - 600≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение x₁+5x₂ = 401 по двум точкам.
Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 80.2. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 401. Соединяем точку (0;80.2) с (401;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 + 5 • 0 - 401 ≤ 0, т.е. x₁+5x₂ - 401≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 22x₁+40x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 22x₁+40x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (22; 40). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

AdBlock or not javascript

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x₁+3x₂=298
x₁+5x₂=401

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 41, x₂ = 72
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 22*41 + 40*72 = 3782