Конические сечения

Здесь мы дадим еще один подход к изучению эллипса, гиперболы и параболы. Он был известен уже древним грекам до начала нашей эры. Эти кривые можно определить как линии пересечения кругового конуса, или точнее, поверхности кругового конуса, с плоскостью, не проходящей через вершину конуса. Отсюда и происходит их название «конические сечения».

Л.С. Понтрягин (1908 – 1988)

Призма переходит в генератрису, генератриса превращается в касательную, касательная съеживается в лемнискату, лемниската распадается на две окружности, одна из них вытягивается в эллипс, эллипс развертывается в параболу, парабола закручивается в спираль, спираль тихонько обвивает мозг, ее когда-то раскрутивший…

Мигель Отеро Сильва ((Miguel Otero Silva, 1908 – 1985),

«Когда хочется плакать, не плачу»

Конические сечения – линии пересечения прямого кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Конус (лат. conus, от греч. ) – конус или коническая поверхность – множество прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства. Конус визуально состоит из двух полостей (рис. 3.6.1). Простейший конус – круглый или, как его еще называют, прямой круговой конус. Его направляющей линией является окружность, а вершина ортогонально проецируется в центр этой окружности. Осью конуса называется прямая, проходящая через его вершину и центр направляющей окружности.

Исследованиями кривых второго порядка на плоскости занимались еще в глубокой древности. Архимед применял конические сечения для решения кубических уравнений.

В зависимости от взаимного расположения конуса и секущей плоскости получают три типа конических сечений:

– секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его плоскости (рис. 3.6.1 а); линия пересечения – замкнутая овальная кривая – эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса;

– секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса (рис. 3.6.1. б); в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая – парабола, целиком лежащая на одной полости;

– секущая пересекает обе полости конуса
(рис. 3.6.1. в) линия пересечения – гипербола – состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

С точки зрения аналитической геометрии конические сечения – действительные, нераспадающиеся линии второго порядка.

Рис. 3.6.1. Конические сечения как результат пересечения плоскости с конусом.

Конические сечения были известны уже математикам Древней Греции. Менехм (, ок. 340 до н.э.) открыл, что эллипс, гипербола и парабола являются сечениями конуса. Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (, ок. 262 до н.э. – ок. 190 до н.э.). Дальнейшие успехи теории конических сечений связаны с созданием в ХVII веке новых геометрических методов: проектного (Ж. Декарт, Б Паскаль) и в особенности координатного (Р. Декарт, П Ферма).

При определенном выборе системы координат (ось абсцисс – ось симметрии конического сечения, ось ординат – касательная к вершине конического сечения) уравнение конического сечения может быть приведено к виду

,

где и - постоянные, .

При уравнение определяет параболу: , при – эллипс, при – гиперболу.

0 Рис.3.6.2.

В переводе с др. греческого парабола означает – приложение, эллипс – недостаток (приложение с недостатком), гипербола – избыток (приложение с избытком). Эти названия возникли, потому что в греческой геометрии превращение прямоугольника, площадь которого равна , в прямоугольник такой же площади с основанием назывался приложением данного прямоугольника к этому основанию (рис. 3.6.2).

Создание Р. Декартом в ХVII веке координатного метода позволило от стереометрических определений конических сечений перейти к планиметрическим определениям этих кривых как множеств точек на плоскости.

Коническое сечение – множество точек, для каждой из которых отношение расстояний до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) равно данному положительному числу (эксцентриситету) . При коническое сечение – эллипс; при – гипербола; при – парабола.

Конические сечения часто встречаются в геометрических описаниях различных явлениях природы и человеческой деятельности. В науке конические сечения приобрели особое значение после того, как И. Кеплер (Kepler, Johann, 1609) открыл из наблюдений, а И. Ньютон (Isaac Newton, 1687) теоретически обосновал законы движения планет.

Пример 3.6.1. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки вдвое больше, чем от прямой Сделать чертеж.

Решение. Пусть – текущая точка линии. По условию задачи .

Тогда

.

Возводя в квадрат и раскрывая скобки, получим

или

Получено каноническое уравнение гиперболы. Сделаем чертеж (рис. 3.6.3).

	0 2
	Рис. 3.6.3.

Ответ:

Пример 3.6.2. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки и от прямой Сделать чертеж.

Решение. Если есть текущая точка линии, то по условию задачи , т.е.

.

0 -2 Рис. 3.6.4.

Возведем в квадрат полученное уравнение, после преобразований запишем:

или

Получим уравнение параболы. Сделаем чертеж (рис. 3.6.4).

Ответ: