2015-09-07
364Р А З Д Е Л VII
§1. Базис линейного пространства. Ранг матрицы. Однородные системы линейных уравнений
131. Исследовать систему векторов { 
} на линейную зависимость. В случае линейной зависимости данной системы найти линейную комбинацию ее векторов с ненулевыми коэффициентами, равную нулевому вектору (искомая линейная комбинация определена неоднозначно).
1) 
2) 
, 
, 
, 
,
3) 
,
4) 
, 
, 
.
132. Проверить, что система векторов { 
} образует базис линейного пространства 
Найти координаты вектора x в этом базисе:
1) 
,
2) 
,
3) 
, 
,
4) 
, 
, 
, 
, 
.
133. Найти ранг матрицы:
1) 
2) 
3) 
.
134. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра 
:
1) 
2) 
3) 
4) 
134.1. При каком значении параметра данная матрица является вырожденной
1) 
, 2) 
, 3) 
?
134.2. Чему равен ранг матрицы А, если:
1) А – квадратная матрица порядка n и 
?
2) А – единичная матрица прядка n?
3) А – нулевая матрица 
?
4) А – ненулевая квадратная матрица порядка 2 с нулевой строкой?
5) А – ненулевая квадратная матрица порядка 2 и 
?
6) А – произвольная матрица и 
?
134.3. Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:
1) как связаны ранги матриц А и 
?
2) может ли ранг матрицы размера 
быть равным 4?
3) у какой матрицы ранг равен 0?
4) пусть А - квадратная матрица порядка 4 и rgA = 3. Чему тогда равен определитель 
матрицы А?
5) чему может быть равен ранг вырожденной квадратной матрицы порядка n?
134.4. Доказать теорему Кронекера-Капелли: система линейных уравнений 
имеет решение тогда и только тог-да, когда ранг матрицы А системы равен рангу расширенной матрицы 
системы, то есть 
(расширенная матрица получается из матрицы А приписыванием к ней столбца свободных членов В в качестве последнего столбца).
135. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и записать его с помощью фундаментальной системы решений (базиса пространства решений однородной системы линейных уравнений):
1) 
2) 
§ 2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Обозначения:
- линейное пространство свободных векторов в пространстве,
- линейное пространство строк длины n,
[ 
] - столбец координат вектора 
.
136. Линейное преобразование 
задано формулой 
Найти матрицу преобразования 
в базисе { 
} и образ 
вектора 
при преобразовании , если:
1) 
2) 
3) 
137. Линейное преобразование 
задано формулой 
, где 
- векторное произведение фиксированного вектора 
на произвольный вектор 
. Найти матрицу преобразования в базисе { 
} и образ вектора при преобразовании , если:
1) 
2) 
138. Найти матрицу А линейного преобразования 
в базисе { }, если преобразование задано формулой:
1) 
,
