Доказательство №1 (простейшее)

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Доказательство №2

Пусть Т - прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а). Докажем, что с²=а²+Ь².

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р - квадрат со стороной с.

Все треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b - величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b = 90°. Угол при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b =180°. И так как a+b = 90°, то g=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р - квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T).

Так как S(Q)=(a+b)²; S(P)=c² и S(T)=½a*b, то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a + b)² = c² + 4*½a*b. Поскольку (a+b)²=a²+b²+2*a*b, то равенство (a+b)²=c²+4*½a*b можно записать так: a²+b²+2*a*b=c² +2*a*b.