Математическая формулировка задачи

Лабораторная работа №12. Односекторная модель экономического роста.

В процессе выполнения предыдущих лабораторных работ мы уже рассматривали оптимизационные задачи, а также задачи, требующие проведения итерационных расчетов. В односекторной модели экономического роста Рамсея (Ramsey) необходимо использовать оба алгоритма одновременно.

Математическая формулировка задачи

В рассматриваемой модели используется производственная функция вида

, (1)

где , - объем производства и капитал в период времени , и , - параметры. Фактически, производственная функция (1) представляет собой упрощенный вариант функции Кобба-Дугласа.

Накопление капитала описывается соотношением

, (2)

где - потребление в период времени .

Подстановка производственной функции (1) в уравнение (2) дает

. (3)

Для решения полученного итерационного уравнения (3) необходимо задать начальное условие, определяющее размер капитала в начальный период, т.е.

(4)

Кроме этого, необходимо ввести граничное условие, определяющее максимальный объем капитала, который должен быть введен в оборот после последнего рассматриваемого в модели периода

, (5)

где - нижняя граница величины капитала, требуемого в конечный период .

Целевой функцией рассматриваемой модели является величина снижения полезности. При этом вначале определяется функция полезности в каждом из периодов

, (6)

где полезность в период времени как функция потребления в этот же период, - некоторый параметр. Затем определяется сумма дисконтированных полезностей

(7)

где - значение критерия, - коэффициент дисконтирования и - ставка дисконта соответственно. Подстановка (6) в (7) позволяет записать целевую функцию в виде

(8)

Таким образом, рассматриваемая модель включает в себя

· целевую функцию (8),

· уравнение, определяющее накопление капитала (3),

· граничные условия (4), (5).

Для решения задачи необходимо найти такие значения , чтобы максимизировать (8) с учетом (3), (4), (5). В конечном счете, задача сводится к определению таких уровней потребления для временных периодов модели, которые устанавливают правильный баланс между потреблением и инвестициями. Более низкое потребление в любой заданный период означает меньшую полезность в этот период, но вызывает рост накоплений и, следовательно, капитала, обуславливая увеличение производства в последующие периоды.

Рассмотренная модель экономического роста является задачей нелинейного программирования (в данном случае это вызвано нелинейностью целевой функции (8) и уравнения накопления капитала (3)). Задачи подобного типа могут быть эффективно решены с помощью табличного процессора электронных таблиц Excel.