Доказательство (геометрически)

Доказательство.

Пусть а < с < b и функция f (x) неотрицательна на [a, b]. Согласно геометрическому свойству определенного интеграла,
, есть площади соответствующих криволинейных трапеций.

А площадь всей криволинейной трапеции - это

Тогда S = S 1 + S 2.

6. Если - нечетная функция, то

Доказательство (геометрически)

7. Если - четная функция, то

Доказательство (геометрически)

Приложения интеграла (Башмаков).

16. Изучение производ-ной функции в средней школе. Цели темы: 1.Сформу-ть у уч-ся понятие произ-водной функции в точке. 2.выработать умение находить произ-ные пользуясь прав-ми и форм-ми диффер-ния. 3.сформ-ть умение применять производную для решения задач,нах-ть т экстремума. 4.научить решать задачи с испол-ем графика производной Содержание: Приращение функции, по-нятие о производной, пра-вила вычисления произ-водной и т.д. Различные подходы к определению: 1.Логический-Определение с помощью предела функции в точке. Вводим определение предела на языке

и на языке последова-тельностей.

-предел разност отношения(вуз, а в школе в программах с 1968-1986) 2.Исторический(с 1986) Не изучается понятие пре-дела, но символ

может использоваться как замена слову «стремле-ние». Данный подход реа-лизуется в школе. Этот подход назван истор, тк в мат-ке как известно,вначале были сформ-ны произ-ая и интеграл и позднее,обобщение этих понятий. Введение понятия произ-водной: 1.Башмаков в определении производной использует знак

. 2.Колмогоров не исполь-зует этот знак. Схеме введения и изучение производной. 1.Рассмотреть подводя-щую задачу, раскрыва-ющую физический смысл производной(нахождение мгновенной скорости свободного падения тела). 2.Сформулировать опр-ие понятия производной. 3.Конкретизировать поня-тие производной (примеры вычисления производной по определению физичес-кого смысла). 4.Рассмотреть приложе-ния производной. Пример подводящей задачи. Задача о нахождении мгновенной скорости. Дано:S=S(t)-зависимость пути от времени.”?”Как охарактеризовать(найти)V в каждый данный момент времени. Скорость в данный момент времени в физике наз мгновенной скоростью.Будем нах-ть ее с помощью понятия-средн. Скорость.

Зафиксир момент времени t0.Тело нах-ся в т.А Находим чему равна скорость тела в тВ. По рис. ∆S=S2-S1-расст которое прошло тело от Адо В.∆t-затрачен временной промежуток на этом участке.

.Такая хар-ка будет оч грубой, тк Vср успела бы сильно уменьш.Будем

уменьшать,если взять

Мгновенная скорость- это число, к которому стремится отношение

при стремлении

к 0. Дано:y=f(x).найти:скорость изменения функции в нек-рой точке. Сравнить скорости изменения фун по графику.

1)выберем приращение ∆х. 2)найдем f(х0+∆х) 3)найдем приращение f= f(х0+∆х)-f(x0) 4)найдем средн скорость изменения функции ∆f/∆x 5)

называемое производной функции в точке. Опред: Производной функции f в точке x₀ называется число, к которому стремится разностное отношение

Можно предложить уч-мся и другие привод задачи(колм,мордк). Алгоритм нахождения производн: 1)х0 придаем приращ ∆х 2)находим ∆f(изменен функ) 3)нах ∆f/∆x(сред скорость) 4)берем ∆х—0 и нах число, к котор стрем ∆f/∆x. Пример:найдем произв функ y=x^3 в т х0. 1)х0 задаем приращ ∆х 2)∆f=(х0+∆х)^3-х0^3= х0^3+3х0^2∆х+3x0(∆х)^2+∆х^3-x0^3=3х0^2∆х+3x0(∆х)^2+∆х^3 3) ∆f/∆x=подставл 4)3х0^2постоянно, 3х0, ∆х—0 при ∆х---0 (∆х)^2—0 при ∆х—0, ) ∆f/∆x---3х0^2 при ∆х—0. Если к гр функ y=f(x) в т.с абсциссой х=а можно провести касат непаралл оси Y,то f^//(а) выраж углов коэф касат. равен

. Физич:если s(t)-закон прямол движения тела, то производ выражает мгновен скорость в момент времени t. Применение производной к исследованию функции. Схема: 1.D(f) 2.Исследование на четность. 3.Вычислить производную. 4.Критические точки(

). 5.Промежутки монотонности (

) 6.Точки экстремума 7.График. Приложения производной: 1.Уравнение касательной:

2.Нахождение числа корней уравнения. 3.Приближенные вычисления:

Следует разделять понятия: производная функции в точке- это число, а производная функции- это некоторая функция, которая обозначается

, D₁- мн-во точек, где функция дифференцируема. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения. Тема изучается в 10 классе (Колмагоров, Башмаков, Мордкович). Цели темы: ü Сформировать навык решения простейших триг. уравнений по формулам, с помощью ед.окружности. ü Познакомить с видами и методами решения сложных триг. уравнений. ü Сформировать понятие “арксинус числа”, “арккосинус”, “арктангенс”, “арккатангенс”. Тригонометрическим называют уравнение, в котором переменная содержится только под знаком тригонометрической функции. Решение тригонометрических уравнений связано с введением следующих понятий: а) арксинусом числа а(|a|≤1) называется такое число из промежутка [

] синус которого равен а. (

) б)) арккосинусом числа а(|a|≤1) называется такое число из промежутка [0;

] косинус которого равен а. (arccos a=α(|a|≤1)⟺

) в) арктангенсом числа а(|a|≤1) называется такое число из промежутка (-π/2; π/2) тангенс которого равен а. г) арккотангенсом числа а(|a|≤1) называется такое число из промежутка (0;π) котангенс которого равен а. 1)Простейшие тригоном. уравнения- это уравнения вида: sinx=a; cosx=a; tgx=a; ctgx=a. где х- переменная, а- любое действительное число. Способы решения: простейшие триг.уравнения решаются с помощью формул, а так же с помощью ед.окружности. Общая формула:

Частные формулы: sinx=0⟹х= πn sinx=1⟹х=

cosx=-1⟹х= -π/2+2πn, n∈Z. Общая формула: cosx=a⟹ x=±arccosa+2πn,n∈Z cosx=0⟹х= π/2+ πn, n∈Z cosx=1⟹х= 2πn,n∈Z cosx=-1⟹х= π+2πn, n∈Z. Общая формула: tgx=a⟹ x=arctga+πn, n∈Z ctgx=a⟹ x=arcctga+πn, n∈Z. 2) Триг. уравнения сводимые к квадратному(метод решения- введение новой переменной)

3)Однородные уравнения а)1-ой степени: asin(x)+bcos(x)=0,б) 2-ой степени:asin2(x)+bsin(x)cos(x)+ cos2(x)=0. Метод решения: 1-ой степени: деление на cosx≠0 (Проверяем не потеряны ли корни: пусть cosx=0, подставим в уравнение:

⟹sinx=0 А это не возможно в силу основного триг.тождества

б) 2-ой степени: делим на

, т.к. в противном случае sinx=0, что невозможно.

, tgx=a

в) уравнения сводимые к однородному asin(x)+bcos(x)=d, где d=d∙1=d∙(

4) Уравнения решаемые разложением на множители

cos5x(2sinx-1)=0 cos5x=0 или 2sinx-1=0 5x= π/2+ πn, n∈Z sinx=1/2 x= π/10+ πn/5 x=

5)Уравнения вида:asin(x)+bcos(x)=c 3 метода решения: · Введение вспомогательного угла · Метод универсальной подстановки

· Сведение к однородному

c=c∙1=c∙(

) Рассмотрим решение уравнений методом вспомогательного угла: asin(x)+bcos(x)=c, a,b,c≠0

условие уравнения

, cos φ=a, sin φ=b⟹

;

(cosφ sinx+ sinφ cosx)=c

6) Уравнения решаемые с использованием различных тригонометрических формул(понижение степени, преобразование суммы триг.функций в произведение)

(sinx+ sin3x) + sin2x =0

2sin2x∙cos(-x)+sin2x=0 sin2x(2cosx+1)=0 7) Уравнения решаемые оценкой левой и правой части

Замечаем, что |cos3x|≤1, |sin

|≤1⟹ |2cos3x+4sin

|≤6⟹ уравнение не имеет решений. Методы решения триг.уравнений: ü Введение новой пременной ü Разложение на множители ü Метод введения вспомогательного угла ü Метод универсальной подстановки ü Метод деления левой и правой части ü Метод оценки левой и правой части Виды: однородные, приводимые к квадратному, и asinx+bcosx=c 14. Изучение тригонометрических функций в средней школе. Учащиеся переходят к новому классу функций, которые играют важную роль в изучении математики, они применяются в теории чисел на практике. Цели: 1)Сформировать понятие тригонометрической функции числового аргумента; 2)Сформировать знание о свойствах тригонометрических функций и умение исследовать тригоном-е функ-и; 3)научить строить графики тригоном-х функ-й; 4)содействовать в формировании мировоззрения учащихся с помощью сведений из истории математики. 2) Содержание: понятие тригоном-х функ-й числового аргумента на примере y = sinx, построение графика функции y = sinx, изучение свойств функ-и y = sinx, исследование и построение графиков более сложных функций. 3) Пропедевтика. Впервые встречается на уроках геометрии в 8 классе, когда рассматривается прямоугольный треугольник(рассматриваются триг-е функ-и углового аргумента)

(косинус угла

зависит от величины угла

, а не от размеров треуг.). Т.о, триг фун-ия определяется от углового аргумента

(30⁰–угол, ½ - число) Такие фун-ии неудобны для исследования, т.к. учащиеся умеют исследовать фун-ии числового аргумента. 4) Введение тригоном-й функции числового аргумента: Прежде всего надо повторить понятие «ед. окружность» Рассмотрим возможные введения триг-ой функции числового аргумента:

1.Делается переход от измерения углов в градусной мере к радианной. Радианную меру считают числом(Колмогоров). «sin(x)» означает sin угла в x радиан. 2.Обосновывается, что радианную меру угла можно считать числом в ед. окружности. Угол в 1 рад – центральный угол в окружности который опирается на длину дуги равную радиусу окружности. 2.Определяем синус угла в ед. окр.: пусть т.А имеет корд (х0,у0), синусом числа

в единичной окружности наз. ордината точки единичной окружности, изображающей угол в

радиан. sin

=у₀ 3.Строим зависимость: каждому числу Х соответствует точка ед. окр. С определённой ординатой, т.е. sin(x) => имеем зависимость х -> sin(x). 4.Опр: Числовая функция, заданная формулой y = sin(x) наз. синусом. 5. Строится график функции y = sin(x). 1способ: с помощью ед. окр. (Колмаг, Башм, Алимов) 2способ: по таблице значений синусов для некот-х чисел (Мордкович) Обратить внимание при первом построении графика ф-ии: 1. Использ некот св-ва ф-ии (ооф,озф,чет,нечёт, известные формулы) 2. Обосновать выбор ед отрезка в системе корд 1ед = 2 клетки (для удобства) 3. Показать нахождение точек на оси ОХ: П/6, П/3, П/4, П, 2П. П≈6 клеток. 5)Все тригонометрические функции обладают свойством периодичности. Опред: Функцию f наз. периодической с периодом