Работа 7. Определение момента инерции твердых тел с помощью маятника Максвелла

Цель работы - изучение маятника Максвелла и определение с его помощью момента инерции твердых тел.

Теоретические основы лабораторной работы

В данной лабораторной работе момент инерции твёрдых тел определяется экспериментально с помощью маятника Максвелла.

Маятник Максвелла представляет собой однородный диск С, через центр которого проходит металлический стержень D (рис.7.1). К концам этого стержня прикреплены две нити. Они тщательно, виток к витку, наматываются на стержень в направлении от его конца к диску. При этом диск на стержне поднимается вверх. Если не удерживать диск в верхнем положении, то возникает поступательное движение маятника вниз и его вращательное движение вокруг оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нити на стержень. Диск снова поднимается вверх и движение повторяется, т.е. возникают колебания.

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела величина аддитивная. Если мысленно представить тело состоящим из большого число весьма малых элементов D m_i, то момент инерции такого дискретного тела приближённо определяется по формуле

Приближение тем точнее, чем больше количество разбиений тела на элементарные массы D m_i.

При бесконечно большом значении числа элементарных масс i стремится к бесконечности, а D m_i. стремится к нулю. Тогда момент инерции сплошного твёрдого тела (непрерывное распределение масс) определяется по формуле

= (7.1)

где r_i - расстояние от элемента до оси вращения; r - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения.

Таким образом, задача нахождения момента инерции различных тел сводится к интегрированию по формуле (7.1) для соответствующего объёма тела.

При выводе расчётных формул использованы соотношения для моментов инерции тел, и закон сохранения полной механической энергии.

Учитывая, что момент инерции тела величина аддитивная, теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла J _т можно определить в виде суммы моментов инерции, полученных как результат интегрирования по формуле (7.1) для его трёх элементов: оси маятника, диска и кольца, надетого на диск

(7.2)

В формуле (7.2):

момент инерции оси маятника ;

момент инерции диска

момент инерции кольца, надетого на диск ;

здесь R _о, m ₀, R _д, m _д, R _к, m _к - соответственно радиусы и массы оси, диска и кольца.

Кинетическая энергия маятника массой m, поднятого и зафиксированного на высоте h, равна нулю. Полная механическая энергия определяется только потенциальной энергией E _п = mgh.

В нижнем положении маятника E _п = 0, и полная механическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений

(7.3)

При таком движении модуль угловой скорости w, модуль линейной скорости u и радиус диска R связаны соотношением

(7.4)

Из закона сохранения следует, что полная энергия маятника в верхнем и нижнем положениях должна быть одинакова, т.е.

(7.5)

Отсюда, учитывая соотношение (4), момент инерции маятника

(7.6)

Для равнопеременного движения связь между расстоянием h, пройденным телом, величиной скорости u и временем t имеет вид

(7.7)

Подставляя последнее выражение в формулу (7.6), получим зависимость для определения экспериментального значения момента инерции

(7.8)

Формулу (7.8) можно вывести и на основе уравнений динамики для поступательного и вращательного движения (см. лаб. работа 5).