Раздел 5. Гамильтонова механика

Содержание курса

Раздел 1. Лагранжева механика

1.1. Обобщенные координаты. Вариационный принцип. Уравнения Лагранжа.

1.2. Точечные преобразования. Неединственность функции Лагранжа механической системы.

1.3. Функция Лагранжа свободной материальной точки.

1.4. Аддитивность функций Лагранжа невзаимодействующих подсистем. Функция Лагранжа для систем материальных точек: потенциальные системы, неавтономные потенциальные системы, потенциальные системы с голономными связями.

1.5. Функция Лагранжа обобщённо-потенциальных систем. Сила Лоренца как обобщённо-потенциальная сила.

1.6. Циклические переменные. Законы сохранения и изменения обобщённых импульсов и обобщённой энергии. Теорема Нётер.

Раздел 2. Движение материальной точки в центральном поле

Интегрирование уравнений движения материальной точки в центральном поле. Финитное и инфинитное движение, достижимость центра поля. Виды траекторий.

Раздел 3. Малые колебания потенциальных консервативных систем

3.1. Состояния равновесия механических систем. Устойчивость состояний равновесия по Ляпунову. Теорема Лагранжа об устойчивости положений равновесия. Функция Лагранжа малых колебаний.

3.2. Уравнения движения для малых колебаний и их общее решение.

3.3. Функция Лагранжа нормальных колебаний. Отыскание нормальных координат.

Раздел 4. Движение твёрдого тела

4.1. Определение твердого тела. Эйлеровы углы. Вектор угловой скорости. Соотношения Эйлера.

4.2. Кинетическая энергия твердого тела. Теорема Кёнига. Тензор инерции.

4.3. Преобразования тензоров. Приведение тензора инерции к главным осям. Главные оси и моменты инерции.

4.4. Момент импульса. Закон изменения момента импульса. Связь момента импульса и вектора угловой скорости.

Раздел 5. Гамильтонова механика

5.1. Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона механической системы. Уравнения Гамильтона. Закон изменения обобщённой энергии. Циклические переменные и понижение порядка уравнений Гамильтона.

5.2. Скобки Пуассона. Закон изменения произвольной функции состояния. Свойства скобок Пуассона. Фундаментальные скобки Пуассона. Теорема Пуассона.

5.3. Канонические преобразования. Действие как функция координат и времени. Производящие функции канонических преобразований.

5.4. Инвариантность скобок Пуассона относительно канонических преобразований. Необходимое и достаточное условие каноничности преобразования.

5.5. Метод Гамильтона-Якоби. Уравнение Гамильтона-Якоби. Понятие полного интеграла. Методы упрощения задачи отыскания полного интеграла: укороченное уравнение Гамильтона-Якоби, метод разделения переменных, случай циклических переменных.

5.6. Полностью интегрируемые системы. Переменные «действие-угол». Квазипериодическое движение.

5.7. Бесконечно-малые канонические преобразования. Движение как каноническое преобразование. Теорема Лиувилля.

Контрольные вопросы

Могут быть заданы независимо от билета. Требуется короткий ответ без подготовки в виде формулы и (если необходимо) рисунка с устным пояснением смысла обозначений.

1. Определение функционала действия и формулировка вариационного принципа в механике Лагранжа.

2. Уравнения Лагранжа.

3. Функция Лагранжа: а) материальной точки в поле тяжести; б) заряженной частицы в электромагнитном поле; в) сферического маятника; г) гармонического осциллятора.

3. Определение обобщённого импульса, выражение для обобщённой энергии.

4. Циклические переменные и интегралы движения.

5. Законы изменения обобщенного импульса и обобщенной энергии в механике Лагранжа.

6. Функция Лагранжа частицы в центральном поле.

7. Эффективный потенциал частицы в центральном поле.

8. Одномерное движение: решение в квадратурах.

9. Одномерное движение: достижимые области.

10. Отыскание положений равновесия потенциальных консервативных систем, условие устойчивости.

11. Функция Лагранжа малых колебаний потенциальных консервативных систем.

12. Функция Лагранжа нормальных колебаний.

13. Характеристическое уравнение для частот малых колебаний.

14. Углы Эйлера.

15. Теорема Кёнига о кинетической энергии твёрдого тела.

16. Компоненты тензора инерции твёрдого тела.

17. Выражение кинетической энергии вращения и момента импульса твёрдого тела через: а) тензор инерции общего вида; б) тензор инерции, приведенный к главным осям; в) осевой момент инерции при заданной оси вращения.

18. Запись момента инерции относительно заданной оси через тензор инерции.

19. Нахождение функции Гамильтона по заданной функции Лагранжа.

20. Уравнения Гамильтона. Основные законы сохранения.

21. Функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле.

22. Теорема Лиувилля.