Модифицированный алгоритм Брезенхема

Основная идея алгоритма состоит в том, чтобы для ребер многоугольника устанавливать яркость пиксела пропорционально площади пиксела, попавшей внутрь многоугольника.

На рис. приведена иллюстрация построения ребра многоугольника с тангенсом угла наклона 11/21.

На рис. а) показан результат генерации многоугольника с использованием ранее рассмотренного алгоритма Брезенхема при двухуровневом изображении (пиксел или закрашен или не закрашен).

На рис. б) показан результат генерации многоугольника с вычислением интесивности пикселов, через которые проходит ребро многоугольника. Интенсивность вычисляется пропорциональной площади части пиксела, попавшей внутрь многоугольника.

На рис. в) показан результат генерации многоугольника с вычислением интесивности пиксела, через который проходит ребро многоугольника в соответствии с модифицированным алгоритмом Брезенхема.

Как видно из рис. при построении ребра многоугольника с тангенсом угла наклона t (0 Ј t Ј 1) могут захватываться либо один пиксел (пикселы (0,0), (2,1), (4,2), (6,8)) либо два пиксела (пикселы (1,0) и (1,1), (3,1) и (3,2), (5,2) и (5,3)). Если захватывается один пиксел, то часть его площади, попавшая внутрь многоугольника, равна dy + t/2 (рис. a).

Если же захватывается два пиксела, то часть площади нижнего пиксела, попавшая внутрь многоугольника равна 1 - [((1 - dy)²)/ 2t], а верхнего - [((dy - 1 + 2)²)/ 2t] (см. рис. б). Суммарная площадь частей для двух пикселов, попавшая внутрь многоугольника, равна dy + t/2.

Если теперь в исходном алгоритме Брезенхема (см. 0.2.2) заменить отклонение E на E' = E + (1-t), то 0 Ј E' Ј 1) и значение E' будет давать значение той части площади пиксела, которая находится внутри многоугольника.

Выполняя преобразование над значением отклонения для первого шага (см. 0.2.2) получим, что начальное значение станет равным 1/2. Максимальное значение отклонения E'_max, при превышении которого производится увеличение Y-координаты занесения пикселов, станет равным (1 - t).

Рис. 0.2.5: Устранение ступенчатости ребер многоугольника: а) генерация ребер без устранения ступенчатости; б) точное вычисление интенсивности пикселов границы; в) формирование пикселов границы по модифицированному методу Брезенхема.

Рис. 0.2.6: Устранение ступенчатости за счет учета площади пикселов, пересекаемых ребром многоугольника.

Для того, чтобы оперировать не дробной частью максимальной интенсивности, а непосредственно ее значениями достаточно домножить на полное число уровней интенсивности I тангенс угла наклона (t), начальное (E') и максимальное (E'_max) значения отклонения.

В результате получается следующий алгоритм, пригодный для случая 0 Ј dY Ј dX:
X= x1;
Y= y1;
Px= x2 - x1;
Py= y2 - y1;
t= I*Py / Px;
E'= I/2;
E'_max= I - I*Py / Px;
i= Px;
PutPixel(X, Y, t/2); /* Первая точка вектора */
while (i = i - 1 і 0) {
if (E' і E'_max) {
X= X + 1;
Y= Y + 1;
E' = E'- E'_max;
} else
X= X + 1;
E' = E'+ t;
PutPixel(X, Y, E'); /* Очередная точка вектора */
}

Для избавления от вещественной арифметики при манипулировании с E' можно домножить уже упомянутые величины на 2*Px. Но в этом случае при занесении пикселов потребуется деление E' на 2*Px.

В Приложении 2 приведена процедура V_BreM, реализующая модифицированный алгоритм Брезенхема для генерации ребра заполненного многоугольника и пригодная для любого октанта.