Вопросы к теоретическому зачету по дисциплине МАРТ. 3 курс ФРТ

1. Дайте определение понятия множества. Приведите примеры множеств.
2. Назовите основные операции над множествами и укажите, в чем они заключаются.
3. Какие множества называются эквивалентными? Каким условиям удовлетворяет отношение эквивалентности?

4. Множества А и В – конечны, А ~ В. n_A – мощность множества А, n_В – мощность множества В. Какое из приведенных соотношений правильно: а) n_A > n_В; б) n_A < n_В; в) n_A = n_В + 1; г) n_A = n_В; д) n_В = n_A + 1?

1. Определите и проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера – Венна операции объединения и пересечения множеств. Являются ли эти операции коммутативными и ассоциативными? Запишите соответствующие соотношения.

Продолжите равенство: А Ç (В È С) = …

1. Изобразите на диаграмме Эйлера–Венна множество (А + С)(В + С) и убедитесь в том, что оно равно АВ + С.

7. В чем состоит операция декартового произведения множеств? Что называют степенью множества? Пусть R – множество вещественных чисел. Какие множества будут получены в результате операций R ´ R и R ´ R ´ R?

1. Что такое мощность конечных множеств? Для множеств A = {–2, 0, 1, 4, 9} и B = {–2, 4, 3, 1} найдите А È В, А Ç В, А \ В, В \ А и А D В. Определите мощность получаемых в результате данных операций множеств.

9. Множества С и D имеют мощности, равные и соответственно. Известно, что С и D не являются эквивалентными. Также известно, что в множестве C есть подмножество C ^*, эквивалентное множеству D. Какое из следующих нижеприведенных выражений правильно: а) > ; б) ≥ ; в) ≤ ; г) < ; д) = ?

10. Установите, какие из приведенных ниже выражений правильны: а) (А È В) \ С = А È (В \ С); б) АВС = АВ (С È В);

11. Установите, какие из приведенных ниже выражений правильны: а) А È В = (А \ АВ)È В; б) А È В = (А D В)D(А Ç В);

в) (АВ È ВС È СА) Ì (А È В È С).

1. Сформулируйте и проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера – Венна определения разности множеств А и В, симметрической разности множеств А и В. Продолжите равенство: А Ç (В \ С) = …

1. Что называют единичным (нейтральным) элементом по отношению к бинарной операции? Что называют обратным элементом по отношению к бинарной операции? Что представляют собой нейтральный и обратный элементы по отношению к операциям сложения и умножения на множестве вещественных чисел?
2. Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество целых чисел Z по отношению к операции сложения? Ответ аргументируйте.
3. Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество вещественных чисел R по отношению к операции умножения? Ответ аргументируйте.
4. Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество натуральных чисел N по отношению к операции сложения? Ответ аргументируйте.
5. Какая алгебраическая структура называется кольцом? Приведите пример кольца.
6. Какая алгебраическая структура называется полем? Для поля Галуа GF(2) задайте с помощью таблиц бинарные операции сложения и умножения.

19. Дайте определение метрического пространства. Перечислите аксиомы, которым должна удовлетворять метрика.

20. Дайте определение метрического пространства. Приведите не менее двух примеров метрических пространств, указав используемые в них метрики.

21. Какие метрики обычно используются в пространствах R_n, C[a, b], L₂[a, b]? Что это за пространства?

22. Что называется нормой элемента произвольного векторного пространства? Каким условиям должен удовлетворять способ введения нормы?

23. Какое пространство называется нормированным? Приведите не менее двух примеров нормированных пространств, указав в них способ введения нормы.

24. Как определяется евклидово расстояние в R_n, L₂?

25. Дайте определение линейного пространства. Перечислите аксиомы ЛП.

26. Приведите примеры линейных пространств (не менее двух).

27. Дайте определение линейной комбинации векторов из L.

28. Дайте определение линейной независимости системы векторов из L.

29. Дайте определение базиса конечномерного ЛП. Какие важнейшие свойства базиса должны выполняться в ЛП?

30. Приведите не менее трех примеров базисных систем для различных ЛП (с формулами или рисунками).

31. Дайте определение скалярного произведения для ЛП. Перечислите свойства скалярного произведения.

32. Приведите и докажите неравенство Коши-Буняковского для произвольных линейных пространств.

33. Как в евклидовых пространствах норму и метрику согласовывают со скалярным произведением?

34. Дайте определения пары ортогональных векторов, системы ортогональных векторов, ортонормальной системы. Докажите, что для ортогональной системы справедливо равенство .

35. Запишите представление вектора через ортогональные базисные вектора . Докажите для конечномерных ЛП равенство Парсеваля || ||² = .

36. Докажите, что любая ортогональная система ненулевых векторов является линейно независимой.

37. Докажите, что координаты вектора относительно ортогонального базиса равны х_п = , а для ортонормального х_п = .

38. Докажите, что скалярное произведение в R_n записывается как (, ) = , где х_k и y_k – координаты векторов и в ортонормальном базисе.

39. Проверьте линейную независимость векторов = (0, –1, 3), = (1, 1, 0), = (–1, –1, 1).

40. Докажите ортогональность системы , на отрезке [–p, p]. Превратите ее в ортонормальную систему.

41. Запишите неравенство Бесселя. Дайте определение замкнутой ортонормальной системы.

42. Дайте определение оператора, функционала, функции. Как определяется понятие обратного оператора?

43. Дайте определение линейного оператора.

44. Приведите примеры линейных операторов.

45. Как определяются сумма и произведение линейных операторов, степень оператора и функция от оператора?

46. Дайте определение прямого и обратного оператора Фурье. Докажите линейность оператора Фурье.

47. Дайте определение прямого и обратного оператора Гильберта. Докажите линейность оператора Гильберта.

48. Дайте определение линейного функционала.

49. Приведите примеры линейных функционалов.

50. Сформулируйте обобщенное равенство Парсеваля и теорему Рэлея.

51. Дайте определение дельта-функции. В чем заключается ее фильтрующее свойство? Определите спектральную плотность сигнала .