Закон Био-Савара-Лапласа:
,
где – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током; m– магнитная проницаемость; m0 – магнитная постоянная (m0=4p×10-7 Гн/м); – вектор, равный по модулю длине проводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I – сила тока; – радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция.
Модуль вектора –
,
где – угол между векторами и .
Магнитная индукция связана с напряженностью магнитного поля соотношением
=mm0 ,
или в вакууме
0=mm0 .
Магнитная индукция в центре кругового проводника с током равна
,
где R – радиус кривизны проводника.
Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током, –
,
где r – расстояние от оси проводника до точки.
Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника, –
.
Обозначения ясны из рис. 2 а, вектор индукции перпендикулярен плоскости чертежа, направлен «к нам» и поэтому изображен точкой.
|
|
а б
Рис. 2
При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 2 б), - . Следовательно,
.
Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороидом на его оси), –
,
где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I – сила тока в одном витке.
Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, т.е.
.
В частном случае наложения двух полей
;
абсолютное значение вектора магнитной индукции равно
,
где a - угол между векторами .
Сила, действующая на элемент d проводника с током в магнитном поле с индукцией В (закон Ампера), –
,
где I – сила тока; – вектор, равный по модулю длине проводника и совпадающий по направлению с током; – магнитная индукция поля.
Модуль вектора определяется выражением
,
где a - угол между векторами и .
Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с током I1 и I2 , находящихся на расстоянии d друг от друга (с расчетом на отрезок проводника длиной ), выражается формулой
.
Вектор магнитного момента контура с током –
,
где S – площадь поверхности контура; – единичный вектор нормали к поверхности контура.
Вращающий момент сил, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, –
.
Модуль вращающего момента сил –
,
где a – угол между векторами и .
Потенциальная (механическая) энергия контура с током в магнитном поле –
.
Сила, действующая на контур с током в магнитном поле, изменяющемся вдоль оси х, –
|
|
,
где - изменение магнитной индукции вдоль оси х, рассчитанное на единицу длины; a - угол между векторами и .
Сила , действующая на заряд, движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией (сила Лоренца), выражается формулой
, или ,
где a – угол, образованный вектором скорости движения частицы и вектором индукции магнитного поля.
Закон полного тока для тока проводимости: циркуляция вектора индукции магнитного поля вдоль замкнутого контура, охватывающего ток, выражается формулой
,
где Ве – проекция вектора индукции на направление касательной к контуру, содержащему элемент ; I – сила тока, охватываемого контуром.
Если контур охватывает n токов, то
,
где – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.
Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S:
,
где a – угол между вектором нормали n к плоскости контура и вектором магнитной индукции ; Вn – проекция вектора на нормаль n ().
В случае неоднородного поля
.
При этом интегрирование ведется по всей площади S.
Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми
витками соленоида или тороида, –
,
где Ф – магнитный поток через один виток; N – число витков соленоида или тороида.
В магнитном поле тороида, сердечник которого составлен из двух частей, изготовленных из веществ с различной проницаемостью:
а) магнитная индукция на осевой линии тороида равна
,
где I – сила тока в обмотке тороида; N – число ее витков; 1 и 2 – значения длины первой и второй частей сердечника тороида; m1 и m2 – значения магнитной проницаемости веществ первой и второй частей сердечника тороида; m0 – магнитная постоянная;
б) напряженность магнитного поля на осевой линии тороида в первой и второй частях сердечника составляет
; ;
в) магнитный поток в сердечнике тороида равен
,
или по аналогии с законом Ома (формула Гопкинсона)
,
где Fm – магнитодвижущая сила; Rm – полное магнитное сопротивление цепи;
г) магнитное сопротивление участка цепи находится по формуле
.
Магнитная проницаемость m ферромагнетика связана с магнитной индукцией В поля в нем и напряженностью Н намагничивающего поля соотноше-нием
.
Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна
А=IDФ,
где DФ – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; I – сила тока в контуре.
Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла) –
,
где – электродвижущая сила индукции; N – число витков контура; – скорость изменения магнитного потока.
Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:
разность потенциалов U на концах проводника длиной , движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле, –
,
где a - угол между направлениями векторов скорости и магнитной индук- ции ;
электродвижущая сила индукции e1 , возникающая в рамке (число витков N, площадь – S) при ее вращении с угловой скоростью w в однородном магнитном поле с индукцией В, –
,
где wt – мгновенное значение угла между вектором и вектором нормали в плоскости рамки.
Количество электричества Q, протекающего в контуре, –
,
где R – сопротивление контура; DY – изменение потокосцепления.
Электродвижущая сила самоиндукции e1 , возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем, –
, или ,
где L – индуктивность контура.
Потокосцепление контура –
,
где L – индуктивность контура.
Индуктивность соленоида (тороида):
,
где V – объем соленоида.
Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнитной проницаемости следует пользоваться формулой
.
Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L, находится так:
|
|
после замыкания цепи – ,
где e - ЭДС источника тока; t – время, прошедшее после замыкания цепи;
после размыкания цепи – ,
где I0 – значение силы тока в цепи при t=0; t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.
Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре с индуктивностью L, определяется формулой
,
где I – сила тока в контуре.
Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида –
.
Формула Томсона. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротивления –
,
где L – индуктивность контура; С – его электроемкость.
Взаимосвязь длины электромагнитной волны, периода Т и частоты колебаний –
l=сТ, или ,
где с – скорость электромагнитных волн в вакууме (с=3×103 м/с).
Скорость электромагнитных волн в среде –
,
где e - диэлектрическая проницаемость; m - магнитная проницаемость среды.