Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Йошкар-Ола, 2014

Рецензенты:

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом МарГУ

Н.И.Попов, Е.Н.Никифорова.

Элементы линейной и векторной алгебры: учебно-методическое пособие/ Мар.гос.ун-т; Н.И.Попов, Е.Н.Никифорова. – Йошкар-Ола, 2014. - с.

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки «Агрономия», «Агроинженерия», «Зоотехния», «Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции», «Продукты питания животного происхождения», «Товароведение» и изучающих элементы линейной и векторной алгебры в курсе высшей математики. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач, в конце каждого параграфа помещены задачи для самостоятельного решения с указанием ответов. Книга может использоваться при самостоятельной работе студентами-заочниками.

ВВЕДЕНИЕ

Мотивацией подготовки данного учебно-методического пособия явилось то, что в настоящее время в условиях перехода к Федеральным государственным образовательным стандартам нового поколения ощущается нехватка учебников по разделу высшей математики «Линейная и векторная алгебра», доступных для студентов агроинженерных и других, связанных с подготовкой специалистов для сельского хозяйства, направлений подготовки. Вышедшие из печати в последнее время учебники и пособия по указанному разделу высшей математики ориентированы в основном на студентов технических вузов и предполагают достаточно высокий уровень их математической подготовки.

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки «Агрономия», «Агроинженерия», «Зоотехния», «Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции», «Продукты питания животного происхождения», «Товароведение» и изучающих элементы линейной и векторной алгебры в курсе высшей математики. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач, в конце каждого параграфа помещены задачи для самостоятельного решения с указанием ответов.

Книга может использоваться при самостоятельной работе студентами-заочниками. В литературе, список которой приведен в конце книги, можно найти дополнительные сведения по разным вопросам линейной и векторной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры

Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами

Матрицей размера или - матрицей называется прямоугольная таблица чисел

, (1.1)

состоящая из строк и столбцов. Если , то матрица называется квадратной.

Используют сокращенную запись , , . Наряду с круглыми скобками применяют и другие обозначения матрицы: .

Матрица называется матрицей (вектором)- строкой, а матрица , состоящая из одного столбца – матрицей (вектором)- столбцом:

.

Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки , называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Матрица , у которой все недиагональные элементы равны нулю, называется диагональной.

.

Квадратная диагональная матрица называется единичной, если все ее диагональные элементы равны единице:

.

Матрица, все элементы которой равны нулю,называется нулевой матрицей:

.

Две матрицы и одинаковой структуры равны, если они совпадают поэлементно, т.е . Над матрицами можно производить ряд операций:

1. Произведением матрицы на число называется матрица, элементы которой определяются равенством .

2. Суммой матриц и одного порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и , т.е. , где , . В частности, .

3. Разность двух матриц определяется соотношением:

, где .

4. Произведение матрицы размера на матрицу размера , называется матрица размера , элементы которой определяются равенством

. (1.2)

Свойства, кроме коммутативного закона умножения, используемые при операциях над действительными числами, справедливы и для операций над матрицами.

5. Квадратные матрицы можно возводить в целую положительную степень , т.е. .

6. Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов: .

7. Транспонированием матрицы называется переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы меняют местами с сохранением порядка .

Свойства операций транспонирования матриц:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

Задача 1.1. Найти произведение матриц и ,если

, .

Решение. .

, получаем, что .

Задача 1.2. Возвести матрицу в степень и найти след

матрицы .

Решение. , .

Задача 1.3. Найти линейную комбинацию матриц ,

где , .

Решение.

.

Задача 1.4. Найти значение матричного многочлена , если

, .

Решение. ,

.