Способы определения координат центра тяжести

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

3. Дополнение. Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

Центры тяжести некоторых однородных тел.

1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 37).

Рис.37

Найдем координату x_C по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ длиною , положение которого определяется углом φ. Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения x и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ, равная . Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

где угол α измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника ABD (рис. 38) прямыми, параллельными AD, на узкие полоски; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника.

Рис.38

Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан.

При этом, как известно,

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 40.

Рис.40

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

x₁ =5 см; y₁ =5 см; z₁ =2,5 см;

x₂ =2,5 см; y₂ =7,5 см; z₂ =6 см.

Объёмы их: V₁=5·10·10=500 см³; V₂=5·5·2=50 см³.

Поэтому координаты центра тяжести тела

см;

Пример 3. У квадратного листа 20x20 см вырезано квадратное отверстие 5x5 см (рис.42). Найдем центр тяжести листа.

Рис.42

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

см