2015-10-22
653
I. 
, С - постоянная. II. 
.
III. 
. IV. 
.
V. 
, С – постоянная. V. 
.
VII. 
Формулы дифференцирования
| Основные элементарные функции | Сложные функции |
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Примеры вычисления производных:
Пример 1.
; 
Решение:
Пример 2.
;
Решение:
Пример 3.
;
Решение:
Пример 4.
;
Решение:
Пример 5.
 .
|
Решение:
Для нахождения производной данной функции используем правила дифференцирования и таблицу производных. Так как производная суммы/разности равна сумме/разности производных, то
постоянный множитель можно вынести за знак производной
Воспользуемся формулой для производной степенной функции:
|
Пример 6.
 .
|
Решение:
Производная суммы равна сумме производных
Воспользуемся формулами из таблицы производных - формулы производных степенной, тригонометрической и логарифмической функций:
|
Пример 7.
 .
Решение:
|
По свойству дифференцирования произведения
теперь воспользуемся формулами из таблицы производных - формулами для производных показательной и тригонометрической функций:
|
Найти производную функции 
|
Воспользуемся правилом дифференцирования частного:
Производная суммы/разности равна сумме/разности производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем:
|
Пример 8.
 .
|
Решение:
По свойству дифференцирования частного получаем:
Далее пользуясь формулами для производных логарифмической и степенной функции, получим:
Для вычисления производной функции использовались правила дифференцирования и таблица производных функций.
|
Пример 9.
 .
Решение:
|
По свойству дифференцирования сложной функции вначале находим производную натурального логарифма и домножаем на производную подлогарифмической функции:
Производная суммы равна сумме производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем:
Знаменатель дроби можно свернуть по формуле квадрат разности, а в числителе двойку вынесем как общий множитель за скобки:
сокращаем:
|
Пример 10.
 . .
Решение:
|
По свойству дифференцирования сложной функции производная от данной функции сначала берется как от арксинуса, а затем умножается на производную от корня:
Производная  так же берется по правилам дифференцирования сложной функции, сначала производная от корня, а затем умножается на производную от подкоренного выражения:
производная разности равна разности производных, тогда
|
Задания
Вычислить производные, используя правила и формулы дифференцирования:
1) 
6) 
11) 
2) 
7) 
12) 
3) 
8) 
13) 
4) 
9) 
14)
5) 
10) 
15) 
