Тема 10. Механика жидкости. Уравнение Бернулли

Гидростатика. Для несжимаемой жидкости ее плотность не зависит от давления. При поперечном сечении S столба жидкости плотностью r ивысотой h давление жидкости р на нижнее основание:

.

Давление называется гидростатическим давлением.

Гидродинамика. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 9). Линии тока проводятся таким образом, чтобы их густота характеризовала величину скорости: густота больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока ( рис. 10 ). Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рис. 9 Рис. 10

Уравнение неразрывности струи для несжимаемой жидкости. Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S ₁ и S ₂ , перпен­дикулярные направлению скорости (рис. 10).

За время Dt через сечение S ₁ проходит объем жидкости ,где – скорость течения жидкости в месте сечения S ₁, а через сечение S ₂ за тоже время Dt пройдет объем жидкости , где – скорость течения жидкости в месте сечения S ₂. Если жидкость несжимаемая, то через сечение S ₂ пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S ₁ , т. е.

.

Так как положения сечений S ₁ и S ₂ выбраны произвольно, то отсюда следует, что вдоль данной трубки тока . Это соотношение называется уравнением неразрывности струи для несжимаемой жидкости.

Уравнение Бернулли. Бернулли рассмотрел изменения гидродинамических параметров вдоль произвольно выбранной трубки тока стационарно текущей жидкости плотностью r (рис. 11).

Рис. 11

В месте сечения трубки тока S ₁ скорость течения жидкости , давление p ₁ и высота, на которой это сечение расположено относительно выбранного уровня отсчета, h ₁. Аналогично, в месте сечения трубки тока S ₂ скорость течения жидкости , давление p ₂ и высота расположения этого сечения над тем же уровнем отсчета h ₂ .

Бернулли установил, что для любых двух сечений одной трубки тока несжимаемой жидкости выполняется равенство:

.

Так как положения сечений было выбрано произвольно, то для любой трубки тока несжимаемой жидкости гидродинамические параметры жидкости подчиняются следующему уравнению (уравнению Бернулли):

.

Для горизонтальной трубки тока (h = const) уравнение Бернулли принимает вид:

,

где величина называется полным давлением,

величина р называется статическим давлением,

величина называется динамическим давлением.

Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности струи следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление, наоборот, в местах сужения меньше.

Формула Торричелли. Формула Торричелли позволяет находить скорость истечения жидкости через малое отверстие в стенке или дне сосуда (рис. 12). Формула Торричелли следует из уравнения Бернулли.Если применить это уравнение для двух сечений S ₁ и S ₂ (S ₁ на уровне h ₁ cвободной поверхности жидкости в сосуде и S ₂ на уровне отверстия h ₂), то получим равенство: Рис.12

.

Так как давления р ₁ и р ₂ жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, то р ₁ =р ₂ , а полученное соотношение примет вид:

.

Из уравнения неразрывности струи следует, что ,

где S ₁ и S ₂ – площади поперечных сечений сосуда и отверстия.

Так как S ₁ >>S ₂,то и членом можно пренебречь.

Тогда ,

откуда .

Это выражение получило название формулы Торричелли, где h – высота свободной поверхности жидкости в сосуде над уровнем отверстия.

Формула Торричелли справедлива только для идеальной жидкости, то есть для жидкости, в которой отсутствует вязкость или внутреннее трение. Только в этом случае скорость истечения жидкости из малого отверстия такая же по величине, как и скорость тела, свободно падающего с высоты h.