лабораторной работы «Решение нелинейного уравнения методом бисекций»

Теория.

Отделение корней

Корень x₀уравнения f(x) = 0 называется отделенным на отрезке [a, b], если на этом отрезке нет других корней этого уравнения.

Графический способ.

Рисуем график функции f(x) и находим абсциссы его точек пересечения с осью ОХ.

Аналитический способ.

Аналитический способ опирается на теоремы:

1. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение f(x)=0 имеет корень.

2. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], принимает на его концах значения разных знаков и её производная не меняет знак на отрезке
[a, b], то на этом отрезке уравнение f(x)=0 имеет единственный корень.

Метод бисекций.

Метод бисекций опирается на следующую теорему.

Теорема.
Если функция f непрерывна на отрезке [ a, b ] и принимает его концах значения разных знаков то на этом отрезке уравнение f (x)=0 имеет корень.

Алгоритм метода бисекций

1. Отделить корень x₀. x₀ Î [ a, b ]

2. Найти значения функции f: f(a), f(b).

3. Найти погрешность D = (b - a)/2.

4. Положить с = (a+b)/2.

5. Если D < e, то принять x₀= с и перейти к пункту 8.
Если D ≥ e, то найти значение функции f(с) и перейти к пункту 6.

6. Если f(c)=0, то принять x₀= с и перейти к пункту 8.
Если f(c)*f(a)<0, то положить b = с и перейти к пункту 7.
Если f(c)*f(a) > 0, то положить a = с и перейти к пункту 7.

7. Положить D = D /2 и перейти к пункту 4.

8. Получено решение x₀ = c ± e.

Задание.

1. Отделить корни уравнения f(x)=0 графически.

2. Отделить корни уравнения f(x) = 0 аналитически.

3. Уточнить корни уравнения f(x) = 0 с погрешностью 0,0001, пользуясь Excel.

4. Записать ответ.

5. Найти корни, пользуясь функцией root из MathCad.

6. Записать ответ.

Варианты заданий для выполнения

лабораторной работы «Решение нелинейного уравнения методом бисекций».