2015-10-22
1252План лекції №11:
| ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 2.1. Электростатика 2.1.3. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса 2.1.4. Работа по перемещению заряда в электрическом поле Расчет электрических полей: Центральная (сферическая) симметрия. Цилиндрическая симметрия. Поле, создаваемое равномерно заряженной плоскостью. Задания и вопросы для самоконтроля |
2. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Это раздел физики, изучающий все электромагнитные взаимодействия.
2.1. Электростатика
Электростатика изучает взаимодействие неподвижных электрических зарядов и свойства постоянного электрического поля.
2.1.3. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса
Электрическое поле можно изобразить графически с помощью линий напряженности электрического поля (силовые линии) (рис. 2.4).
Рис.2.4
Линиями напряженности электрического поля называются линии, касательная в каждой точке которых совпадает с направлением вектора напряженности. Они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность. Число линий напряженности можно, в принципе, проводить сколь угодно много. Однако, условились проводить их с такой густотой, чтобы число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, было пропорционально модулю вектора  .
Потоком вектора напряженности электрического поля через элементарную площадку dS называется произведение модуля вектора напряженности на площадь элементарной поверхности и на косинус угла между нормалью к поверхности  и направлением вектора
Рис.2.5
На рис. 2.5 показаны линии напряженности , - нормаль к площадке dS и угол α.
Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора через эту поверхность равен
где интеграл берется по замкнутой поверхности S; En - проекция вектора на нормаль к площадке dS,  .
Нормаль к замкнутой поверхности выбирается внешняя, а поток может быть положительным или отрицательным. Подчеркнем, что поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих поверхность.
Теорема Гаусса
Теорема Гаусса формулируется следующим образом.
Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри поверхности, деленной на электрическую постоянную
Доказательство проведем в несколько этапов.
1. Рассмотрим замкнутую поверхность в виде сферы радиуса r, в центр которой помещен точечный заряд q (рис. 2.6).
Рис.2.6
Напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом в вакууме, вычисляется по формуле (2.4) при ε = 1
 .
Для сферы  , следовательно,  , а также  , так как  . Поток вектора в этом случае равен
Интеграл  равен площади сферы
 .
Тогда поток вектора равен
 .
Ответ сравните с формулой (2.11) и убедитесь, что теорема доказана. Напомним, что поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих замкнутую поверхность.
2. Если замкнутая поверхность отличается от сферы (см. рис. 2.6, пунктирная линия), то поток вектора не изменится, так как не изменяется число силовых линий, пронизывающих эту поверхность.
3. Если внутри замкнутой поверхности находится не один заряд, а несколько, то результирующая напряженность электрического поля находится по принципу суперпозиции (2.8). Тогда потоки и заряды складываются алгебраически, т. е. с учетом знаков, и теорема Гаусса, формула (2.11), оказывается справедливой.
Теорема Гаусса применяется для вычисления электрических полей, созданных протяженными зарядами, например, заряженной нитью, плоскостью и т. д. С помощью теоремы Гаусса получены формулы (2.5), (2.6) и (2.7).
2.1.4. Работа по перемещению заряда в электрическом поле
Покажем, что электростатическое поле является потенциальным, а кулоновские силы - консервативными. Для этого рассчитаем работу, совершаемую электростатическим полем положительного точечного заряда q, по перемещению другого положительного точечного заряда q 0 из точки 1 в точку 2 (рис. 2.7).
Рис.2.7
В процессе перемещения заряда q 0 сила взаимодействия между зарядами будет изменяться, так как она зависит от расстояния между зарядами (формула (2.2))
 .
Элементарную работу найдем по формуле:  . Учтем, что  (рис. 2.7).
Работу переменной силы будем определять по формуле (1.27):
Из формулы (2.12) видно, что работа не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением пробного заряда. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным, и в нем действуют консервативные силы, работа которых равна убыли потенциальной энергии (формула (1.33). Тогда
1) Центральная (сферическая) симметрия. Пусть плотность заряда  есть  . Значит, плотность, которая, вообще, функция координат точки  , зависит только от  , то есть только от расстояния до начала координат, это означает, что начало координат – центр симметрии. Вот эта формулка = означает, что плотность на любой сфере радиуса r – константа, какая-то там плотность, ну, и отличная от нуля, на любой сфере она постоянна. Это означает, что распределение обладает сферической симметрией, и создаваемое им поле будет также обладать сферической симметрией. Отсюда следует, что  (потенциал как функция точки) это есть  . Отсюда эквипотенциальные поверхности – сферы с центром в начале координат, то есть вот на любой сфере потенциал – константа. Отсюда далее следует, что силовые линии поля, которые являются всегда ортогональными к эквипотенциальным поверхностям, силовые линии поля – вот такие радиальные лучи:
  Конструкция электрического поля может быть только такая. А теперь заметьте, здесь никакой специфики электричества не было, все эти выводы получены только из соображений симметрии. Любое векторное поле имело бы такую структуру, какая бы физическая природа у него ни была. Только сила соображения симметрии очень часто позволяет делать выводы безотносительно к конкретному предмету разговора.
= , отсюда дальше следует, что напряжённость поля на любой сфере  может быть представлен так:  . Вот это  , радиус-вектор, делённый на собственный модуль, есть единичный вектор  в направлении радиус-вектора. Всё. Пишем дальше эту формулу  . В качестве замкнутой поверхности, которая фигурирует в интеграле (поток вычисляется по замкнутой поверхности), выбираем сферу  . Мы её (поверхность) можем брать любой, равенство от этого не зависит, но удобно взять  . Пишем:  . Это равенство вследствие того, что  , - единичный вектор в направлении радиус-вектора (это вектор нормали к сфере, но нормаль к сфере в данной точке совпадает по направлению с радиус-вектором данной точки, эти векторы параллельны), а проекция радиус-вектора на самого себя – это его модуль, конечно,  . Дальше, во всех точках сферы одно и тоже, выносим за знак интеграла:  (вот это всё была математика, она к физике никакого отношения пока не имела, а физика – это следующее равенство), эта величина должна равняться интегралу от плотности заряда по объёму сферы, по которой вычисляется поток (интеграл от плотности по объёму это есть полный заряд внутри сферы):  , где  – заряд внутри сферы радиуса . И это утверждение верно для сферы любого радиуса. Отсюда вывод – при центральной симметрии напряжённость поля во всех точках сферы радиуса равна:
 ,
где - единичный вектор нормали к сфере. Эта формула, одна единственная, добивает все задачи центральной симметрии. Проблема одна – найти заряд, который находится внутри данной сферы, ну, это не очень тяжёлая проблема.
Можем немножко продолжить это дело. Вследствие того, что на любой сфере , интеграл по объёму можно свести, в принципе, к однократному интегралу, интегрируя по шаровым слоям, ну, напишу тут без подробных комментариев  . Вот это  объём шарового слоя радиуса  толщиной  . Почему я тут штрихи поставил, понятно. стоит в верхнем пределе интеграла, ну тогда, чтоб не путать переменную интегрирования с верхним пределом, там я вместо пишу . Значит, если вот эта функция  предъявлена, то такой интеграл вычисляется. Так, всё, с центральной симметрией конец. Второй случай.
 
    2) Цилиндрическая симметрия. Вводим цилиндрические координаты  ,  переходит в . Вот у нас в цилиндрических координатах плотность  есть только функция от , то есть не зависит от  и не зависит от  . Это означает, что имеется бесконечный цилиндр, и на поверхности цилиндра любого радиуса плотность заряда постоянна, и всё это дело продолжается до бесконечности по , вот такая ситуация. Сразу, конечно ясно, что физически это не реализуется, но в качестве некоторой идеализации это разумно. Напишем снова  , значит, эквипотенциальные поверхности – это цилиндры с осью, совпадающей с осью симметрии, то есть с осью . А силовые линии лежат в плоскостях ортогональных оси . Так. В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндрическую поверхность радиуса и высотой  , цилиндрическая поверхность, закрытая двумя крышками для того, чтобы она была замкнутой. Нормаль всегда берётся наружу. Из соображений симметрии ясно  (напряжённость поля в любой точке цилиндрической поверхности направлена вдоль вектора , а величина зависит только от расстояния до оси симметрии). Поскольку у нас поверхность теперь задана в виде нескольких кусков, интеграл представится как сумма интегралов по этим кускам:  .
 Интеграл по крышкам равен нулю, потому что вектор скользит по крышкам, скалярное произведение с нормалью – ноль.   .
 Внутренняя начинка этого цилиндра  , это интеграл по .  , где  - это заряд на единицу длины цилиндра радиуса , то есть это заряд лепёшки радиуса единичной толщины. Отсюда мы получаем результат:
напряжённость поля во всех точках цилиндрической поверхности радиуса .
 Эта формула убивает все проблемы, связанные с цилиндрической симметрией. И, наконец, третий пункт.
   3) Поле, создаваемое равномерно заряженной плоскостью. Вот мы имеем плоскость YZ, заряженную до бесконечности. Эта плоскость заряжена с постоянной плотностью s. s называется поверхностная плотность заряда. Если взять элемент поверхности  , то в нём будет заряд  . Значит, симметрия такова, что при сдвигах вдоль y и z ничего не меняется, это означает, что производные по y и z от чего угодно должны равняться нулю:  . Это означает, что потенциал есть функция x только:  . Вот такое следствие. Это означает, что любая плоскость ортогональная оси x является эквипотенциальной поверхностью. На любой такой плоскости j=const. Силовые линии ортогональны этим плоскостям, значит силовые линии – прямые параллельные оси x. Из соображений симметрии следует, что, если здесь они идут вправо от плоскости, то слева они должны идти влево от плоскости (ожидается, что имеется зеркальная симметрия).
Вопрос, на самом деле, с зеркальной симметрией не такой простой. Вот ещё до не очень давнего времени, ещё на моей памяти, считалось, что зеркальная симметрия, конечно, имеет место в природе, что нет отличия между левым и правым. Но обнаружили в 60-х гг., что на самом деле такая симметрия не выполняется, природа отличает правое от левого. Будет ещё повод об этом поговорить. Но здесь это для нас выполняется.
      Пусть – единичный вектор вдоль оси x. В качестве замкнутой поверхности берём цилиндр, прорезающий плоскость с двумя крышками. Напряжённости поля показаны на рисунке.
 Интеграл по боковой поверхности ноль, потому что силовые линии скользят по боковой поверхности. Но как площади оснований цилиндра  . Если крышки взяты на одинаковых расстояниях от плоскости, то опять вследствие симметрии  - функция расстояния до плоскости, тогда мы напишем так:  . Тогда мы имеем:  , а это заряд, который сидит внутри нашей поверхности.
Отсюда получается:  . Что мы видим, что длина цилиндра, ну, расстояние от крышек до плоскости, выпало из формулы, то есть на любом расстоянии от плоскости напряжённость поля одна и та же. Значит поле однородное. Напишем окончательно:
Эта формула автоматически учитывает и знак заряда: если. Вот эта формула даёт исчерпывающее описание поля заряженной плоскости. Если там не плоскость, а площадь конечной толщины, то поле надо разбить на тонкие пластины и вычислять.
Вот заметьте, для точечного заряда напряжённость поля убывает с расстоянием как  , для цилиндра – как  и для плоскости вообще не убывает.
Два последние случая практически нереализуемые. Тогда какой смысл в этих формулах? Такой: например, эта формула справедлива вблизи середины плоского заряженного куска. Строго такая формула (однородное поле заполняет всё пространство) ни в какой физической ситуации не реализуется.
Задания и вопросы для самоконтроля
1. Что называется напряженностью электрического поля? Приведите примеры выражений для напряженности полей.
2. Что называется потоком вектора напряженности электрического поля? Сформулируйте теорему Гаусса.
3. Как вычисляется работа по перемещению заряда в электростатическом поле?
4. Расчитайте поле заряженного шара.
5. Расчитайте поле заряженного цилиндра.
6. Расчитайте поле заряженной плоскости.
|
