2.3.4. Магнитное поле в центре кругового тока
С помощью закона Био - Савара - Лапласа и принципа суперпозиции найдем напряженность магнитного поля в центре витка с током I радиуса R (рис. 2.12) (виток перпендикулярен чертежу).
Рис.2.12
В этом случае все элементы проводника  перпендикулярны радиусу   и  , т. е.  . Расстояние всех элементов провода до центра одинаково и r = R. Поэтому формула (2.37) примет следующий вид
 .
Применим принцип суперпозиции.
Все элементы тока создают магнитное поле одинакового направления, перпендикулярно плоскости витка, поэтому от векторного интегрирования можно перейти к скалярному
 ,
где  - длина окружности.
Окончательно получим формулу для вычисления напряженности магнитного поля в центре кругового тока
Магнитная индукция равна
Напомним, что для вакуума μ = 1.
Направление векторов  и  нужно находить по правилу правого винта (рис. 2.12) с учетом того, что  и  .
2.3.5. Магнитное поле прямого тока
Применяя закон Био - Савара - Лапласа и принцип суперпозиции, можно найти напряженность магнитного поля прямого тока. Запишем без вывода конечный результат для проводника конечной длины (рис. 2.13).
Рис.2.13
Введем следующие обозначения: I - сила тока в проводнике, b - кратчайшее расстояние от точки наблюдения до проводника, α 1 и α 2 - углы между отрезком проводника и линией, соединяющей концы отрезка с точкой наблюдения.
Напряженность магнитного поля, созданного конечным прямым проводником с током, равна
Направление вектора определяется по правилу правого винта. Вектор, направленный за чертеж, изображается крестиком  . Вектор, направленный к нам - точкой  . Линия напряженности представляет собой окружность.
Для бесконечно длинного проводника  и  . Напряженность магнитного поля равна
Модуль вектора магнитной индукции, соответственно, равен
Поле длинного соленоида.
Соленоидом называется катушка, на которую намотан проводник.
 Магнитное поле от витков складывается, и не трудно догадаться, что структура силовых линий поля такая: они внутри идут густо, а дальше разреженно. То есть для длинного соленоида снаружи будем считать  =0, а внутри соленоида = const. Внутри длинного соленоида, ну, в окрестности. Скажем, его середины, магнитное поле практически однородно, а вне соленоида это поле мало. Тогда мы можем найти это магнитное поле внутри следующим образом: вот я беру такой контур (рис.7.13), а теперь пишем:  1)    .
 - это полный заряд. Эту поверхность протыкают витки
(полный заряд)=  (число витков, протыкающих эту поверхность).
Мы получим такое равенство из нашего закона:  , или
 .
Магнитный момент
Имеется в виду, что в ограниченной области пространства текут токи, тогда есть простой рецепт для нахождения магнитного поля, которое создаёт это ограниченное распределение. Ну, кстати, под это понятие ограниченное пространство подпадает любой источник, поэтому тут никакого сужения нет.
Если характерный размер системы  , то  . Напомню, что мы решали аналогичную проблему для электрического поля, создаваемого ограниченным распределением заряда, и там появилось понятие дипольного момента, и моментов более высокого порядка. Решать эту задачу я здесь не буду.
 По аналогии (как делалось в электростатике) можно показать, что магнитное поле от ограниченного распределения на больших расстояниях подобно электрическому полю диполя. То есть структура этого поля такая:
Распределение характеризуется магнитным моментом  . Магнитный момент  , где  – плотность тока или, если учесть, что мы имеем дело с движущимися заряженными частицами, то вот эту формулу для сплошно среды мы можем выразить через заряды частиц таким образом:  . Что эта сумма выражает? Повторяю, распределение тока создаётся тем, что движутся эти заряженные частицы. Радиус-вектор i -ой частицы векторно умножается на скорость i -ой частицы и всё это умножается на заряд этой i -ой частицы.
Такая конструкция, кстати, у нас в механике была. Если вместо заряда без множителя  написать массу частицы, то, что это будет изображать? Момент импульса системы.
Если мы имеем частицы одного сорта ( , например, электроны), то тогда мы можем написать   . Значит, если ток создаётся частицами одного сорта, то магнитный момент связан просто с моментом импульса этой системы частиц.
Магнитное поле, создаваемое этим магнитным моментом равно:
 (8.1)
1) Интеграл по АD =интегралу по ВС =0, так как  , интеграл по CD =0, потому что там  по предположению. А на отрезке АВ векторы и  параллельны.
Задания и вопросы для самоконтроля
1. Назовите характеристики магнитного поля. Как они связаны?
2. Сформулируйте закон Био - Савара - Лапласа.
3. Как вычисляется с помощью закона Био - Савара - Лапласа напряженность магнитного поля в центре кругового тока.
4. Как вычисляется напряженность магнитного поля прямого тока?
|
2015-10-22
410
