Приклади розв’язку задач

Приклад 1. Визначити число молекул, що містяться в 1 см³ води, і масу молекули води. Виходячи з того, що молекули води мають вигляд кульок, що стикаються одна з одною, знайти діаметр молекул.

Дано: V = 10^{-6 м3}, 18·10^-3 кг/моль, 10³ кг/м³.

Знайти: N, m ₁, d.

Розв’язок. Спочатку, користуючись таблицями фізичних величин, знайдемо густину, а потім і молярну масу води. Молярна маса пов’язана з відносною молекулярною масою речовини M_r формулою

кг/моль. (1)

Відносна молекулярна маса речовини дорівнює сумі відносних атомних мас всіх елементів, атоми яких входять до складу молекули даної речовини, і визначається формулою

, (2)

де A_r,i – відносна атомна маса i -го елемента, а n_i – число атомів i -го елемента, що входять у молекулу.

Хімічна формула води має вигляд H₂O. Звідси випливає, що до складу даної молекули входять два атоми водню (n ₁ = 2) і один атом кисню (n ₂ = 1). Значення відносних атомних мас водню і кисню знайдемо з таблиці Д.І. Менделєєва: A_{r, 1} = 1; A_{r, 2} = 16.

Таким чином, з (1) і (2) для води маємо

= (n ₁ A_{r ,1} + n ₂ A_{r ,2})·10^-3 = (2·1 + 1·16)·10^-3 = 18·10^-3 кг/моль.

Відповідно до визначення, кількість однорідної речовини даної маси m дорівнює

, (3)

де N_A – число Авогадро.

Виразивши масу як добуток густини на об’єм V, з виразу (3) одержимо

. (4)

Масу однієї молекули легко знайти, поділивши молярну масу на число Авогадро

. (5)

Для визначення діаметру молекули води приблизно будемо вважати, що в рідині молекули мають форму кульок, що щільно прилягають одна до одної. Згідно з цими уявленнями на кожну молекулу приходиться об’єм V ₁, що дорівнює об’єму кубічного осередку зі стороною d

V ₁ = d ³. (6)

З іншого боку, об’єм V ₁ можна знайти, розділивши повний об’єм на число молекул

. (7)

Таким чином, підставляючи вираз (7) у (6) і використовуючи (4), можна одержати

. (8)

Обчислення.

= 3,34·10¹⁹;

= 2,99·10^{-26 кг;}

м.

Відповідь: N =3,34·10¹⁹ молекул; m ₁ =2,99·10^{-26 кг; d = 3,11·10-10} м.

Приклад 2. У посудині об’ємом 2 м³ знаходиться суміш 4 кг гелію і 2 кг водню при температурі 27 ⁰С. Визначити тиск і молярну масу суміші газів.

Дано: V = 2 м³; m ₁ = 4 кг; m ₂ = 2 кг; 4·10^-3 кг/моль;
= кг/моль; T = 300 К.

Знайти: p; .

Розв’язок. За законом Дальтона тиск суміші газів дорівнює сумі парціальних тисків газів p ₁ і p ₂, що входять до складу суміші

p = p ₁ + p ₂. (1)

Фізичні умови, при яких знаходиться суміш газів, не екстремальні, тому в цій задачі застосовано рівняння Клапейрона-Менделєєва

. (2)

Застосовуючи це рівняння до гелію і водню, знайдемо їхні парціальні тиски p ₁ і p ₂

; (3 а)

. (3 б)

Підставляючи вираз (3) у (1), знайдемо тиск суміші

. (4)

Молярну масу суміші знайдемо як відношення сумарної маси m до сумарної кількості речовини суміші

. (5)

Тут

m = m ₁ + m ₂; (6 а)

, (6 б)

де і – число молей гелію і водню, які визначаються відповідно формулами

; (7 а)

. (7 б)

Підставляючи в (5) вираз (6) і (7), одержимо остаточно

. (8)

Обчислення.

= 24,9×10⁵ Па;

= 3·10^-3 кг/моль.

Відповідь: p = 24,9·10⁵ Па; = 3·10^-3 кг/моль.

Приклад 3. У балоні об’ємом 10 л знаходиться гелій під тиском 1 МПа і при температурі 300 К. Після того, як з балону було взято 10 г гелію, температура в балоні знизилася до 290 К. Визначити тиск гелію, що залишився у балоні.

Дано: V = 10^{-2 м3}; p ₁ = 10⁶ Па; T ₁ = 300 К; T ₂ = 290 К; m = 10^{-2 кг; = 4·10-3} кг/моль.

Знайти: p ₂.

Розв’язок. Маса газу, що вийшов з балона, мабуть, дорівнюватиме

m = m ₁ – m ₂, (1)

де m ₁ і m ₂ – відповідно початкова і кінцева маси гелію в балоні.

З рівняння Менделєєва-Клапейрона для вихідного стану знайдемо первісну масу газу m ₁, а для кінцевого стану – пошукуваний тиск p ₂

. (2)

. (3)

Тепер можна виразити m ₂ з виразів (1) і (2) і підставити результат у вираз (3)

. (4)

Обчислення.

= 3,64·10⁵ Па.

Відповідь: p ₂ = 3,64·10⁵ Па.

Приклад 4. Знайти середню кінетичну енергію обертального руху однієї молекули кисню при температурі 350 К, а також кінетичну енергію обертального руху всіх молекул кисню масою 4 г.

Дано: T = 350 К; m = 4·10^{-3 кг, = 32·10-3} кг/моль.

Знайти: ; .

Розв’язок. Середня енергія обертального руху молекул визначається виразом

, (1)

де k – стала Больцмана, а і_об – число обертальних ступенів вільності молекули.

Обертальному рухові двохатомної молекули відповідають два ступені вільності. Таким чином, для даної задачі і_об = 2.

Кінетична енергія обертального руху всіх молекул газу очевидно дорівнює добуткові числа молекул N на їхню середню енергію обертального руху

. (2)

Число всіх молекул газу можна знайти, використовуючи вираз

. (3)

Підставляючи (1) і (3) у (2), одержимо для E_об такий вираз

. (4)

Обчислення.

Дж;

Дж.

Відповідь: ε _об = 4,63·10^-21 Дж; E _об = 364 Дж.

Приклад 5. Кисень масою 2 кг займає об’єм 1 м³ і знаходиться під тиском 0,2 МПа. Газ було нагріто до об’єму 3 м³, а потім при сталому об’ємі до тиску 0,5 МПа. Знайти зміну внутрішньої енергії газу, виконану ним роботу і теплоту, передану газу. Побудувати графік процесу.

Дано: m = 2 кг; 32·10^-3 кг/моль; V ₁ = 1 м³; V ₂ = V ₃=3 м³; p ₁ =
p ₂ = 2·10⁵ Па; p ₃ = 5·10⁵ Па.

Знайти: U; A; Q.

Розв’язок. З умови задачі випливає, що зміна термодинамічних параметрів системи відбувається у два етапи. Повну зміну внутрішньої енергії газу можна визначити з виразу: . (1) Тут – різниця температур у кінцевому і початковому станах, а i – ціле число, обумовлене кількістю ступенів вільності молекули. Для двоатомної молекули кисню за типових

Рис. 2.1.

умов i = 5, тому що в тепловому русі беруть участь 3 ступені свободи поступального руху і 2 ступені свободи обертального руху, а коливальний рух практично відсутній.

Початкову і кінцеву температуру газу можна знайти з рівняння Менделєєва-Клапейрона

; (2 а)

; (2 б)

. (2 в)

Відповідно до умови, на першому етапі газ одночасно розширюється і нагрівається, а на другому – тільки нагрівається. Робота розширення газу при постійному тиску (на першому етапі) виражається формулою

. (3)

На другому етапі робота розширення дорівнює нулю, тому що
V ₂ = V ₃. Таким чином, повна робота, виконана газом, дорівнює роботі, здійсненої ним на першому етапі, тобто A ₁₃ = A ₁₂.

Теплота, що передана газу, відповідно до першого закону термодинаміки, дорівнює сумі змін внутрішньої енергії і роботи

Q = U + A. (4)

Обчислення.

= 385 К;

= 1155 К;

= 2887 К;

= 3,24·10⁶ Дж;

= 4·10⁵ Дж;

Q = 3,24·10⁶ +4·10⁵ Дж = 3,64·10⁶ Дж.

Відповідь: 3,24·10⁶ Дж; A = 4·10⁵ Дж; Q = 3,64·10⁶ Дж. Графік процесу представлений на рис. 2.1.

Приклад 6. Об’єм аргону, що знаходиться під тиском 80 кПа, збільшився від 1 л до 2 л. На скільки зміниться внутрішня енергія газу, якщо розширення відбувалося: а) ізобарно; б) адіабатно?

Дано: V ₁ = 1·10^{-3 м3}; V ₂ = 2·10^{-3 м3}; p = 8·10⁴ Па; = 40·10^-3 кг/моль; i = 3.

Знайти: ; .

Розв’язок. Зміна внутрішньої енергії визначається формулою

. (1)

а) Ізобарний процес. Запишемо рівняння Менделєєва-Клапейрона для початкового і кінцевого станів газу

; (2 а)

. (2 б)

Віднімемо з другого виразу перше

. (3)

З виразів (1) і (3) легко одержати остаточну формулу для цього випадку

. (4)

Обчислення.

= 121 Дж.

б) Адіабатичний процес. Робота при адіабатичному процесі виражається формулою

або . (5)

Тут – показник адіабати. Для ідеального газу його можна визначити з виразу

. (6)

Адіабатичний процес протікає без теплообміну з навколишнім середовищем, тому робота відбувається за рахунок внутрішньої енергії, тобто Q = 0, а . Таким чином, у даному процесі зміну внутрішньої енергії можна знайти з виразу

. (7)

Обчислення.

= 1,67;

= –44,6 Дж.

Відповідь: = 121 Дж; = –44,6 Дж.

Приклад 7. Теплова машина працює за циклом Карно. Машина за цикл одержує від нагрівача 1 кДж теплоти і виконує роботу, що дорівнює 350 Дж. Температура нагрівача 500 К. Знайти ККД циклу, температуру холодильника і кількість теплоти, що віддається холодильнику.

Дано: T ₁ = 500 К; А = 350 Дж; Q ₁ = 1000 Дж.

Знайти: ; T ₂; Q ₂.

Розв’язок. ККД циклу теплової машини визначається формулою

. (1)

З іншого боку, ККД циклу Карно дорівнює

. (2)

Оскільки теплова машина працює за циклом Карно, формули (1) і (2) визначають той самий ККД (). Тоді з (2) виходить, що

. (3)

Кількість теплоти, віддану холодильнику, знайдемо з виразу

. (4)

Обчислення.

;

T ₂ = (1 – 0,35)500 = 325 К;

Q ₂ = 1000 – 350 = 650 Дж.

Відповідь: = 0,35; T ₂ = 325 К; Q ₂ = 650 Дж.

Приклад 8. Знайти зміну ентропії при переході 6 г водню від об’єму 20 л під тиском 150 кПа до об’єму 60 л під тиском 100 кПа.

Дано: = 2·10^-3 кг/моль; m =6·10^{-3 кг; p} ₁ = 1,5·10⁵ Па; V ₁ =
=2·10^-2 м³; p ₂ = 10⁵ Па; V ₂ = 6·10^{-2 м3}; i = 5.

Знайти: .

Розв’язок. Зміна ентропії термодинамічної системи визначається виразом

. (1)

Тут dQ – приріст кількості теплоти, для якого перший закон термодинаміки можна записати в диференціальній формі

, (2)

де C_V – молярна теплоємність газу при постійному об’ємі

. (3)

Використовуючи рівняння Менделєєва-Клапейрона, температуру можна виразити через інші термодинамічні параметри

. (4)

Звідси знайдемо диференціал

. (5)

Після підстановки виразу (5) у (2), а потім у (1), одержимо

. (6)

Остаточно, підставляючи (3) у (6), одержимо:

. (7)

Обчислення.

= 71 Дж/К.

Відповідь: = 71 Дж/К.

Приклад 9. Визначити середню довжину вільного пробігу молекул і число зіткнень за 1 с, що відбуваються між усіма молекулами кисню, що знаходиться у посудині об’ємом 2 л при температурі 27 ⁰С и тиску 100 кПа.

Дано: V = 2·10^{-3 м3}; = 32·10^-3 кг/моль; Т = 300 К; p = 10⁵ Па;
d = 2,9·10^-10 м.

Знайти: ; Z.

Розв’язок. Середня довжина вільного пробігу молекул обчислюється за формулою

. (1)

Тут d – ефективний діаметр молекули, а n – концентрація молекул, яку можна визначити з рівняння p = nk Т, звідки

, (2)

де k – стала Больцмана.

Визначаючи концентрацію з формули (2) і, підставляючи її в (1), знайдемо

. (3)

Число зіткнень, випробовуваних однією молекулою за 1 с, дорівнює

, (4)

де – середня арифметична швидкість руху молекул

. (5)

Кількість молекул у посудині N дорівнює

. (6)

Число зіткнень Z, що відбуваються між усіма молекулами за 1 c, дорівнює

, (7)

де коефіцієнт 1/2 застосовується для того, щоб зіткнення кожної пари молекул враховувати тільки один раз.

Таким чином, підставляючи вираз (4)–(6) у (7), попередньо визначаючи концентрацію молекул з виразу (2), знайдемо остаточно

. (8)

Обчислення.

= 3,56·10^{-8 м;}

= 9·10²⁸ c^-1.

Відповідь: 3,56·10^{-8 м; Z = 9·1028} c^-1.

Приклад 10. Знайти додатковий тиск усередині мильної бульбашки діаметром 10 cм. Яку роботу потрібно виконати, щоб видути цю бульбашку?

Дано: d = 0,1 м; = 4·10^-2 Н/м.

Знайти: ; A.

Розв’язок. Плівка мильної бульбашки має дві сферичні поверхні: зовнішню і внутрішню. Обидві поверхні натискають на повітря, що міститься всередині бульбашки. Оскільки товщина плівки надзвичайно мала, то діаметри обох поверхонь практично однакові. Тому додатковий тиск дорівнює

, (1)

де – коефіцієнт поверхневого натягу; – тиск, створюваний усередині сферичної поверхні; – радіус мильної бульбашки.

Таким чином, додатковий тиск можна знайти з виразу

. (2)

Робота, яку потрібно зробити, щоб, розтягуючи плівку, збільшити її поверхню на , виражається формулою

, (3)

де S – загальна площа двох сферичних поверхонь плівки мильної бульбашки; S ₀ – загальна площа двох поверхонь плоскої плівки, що затягує отвір трубки до видування бульбашки.

Нехтуючи S ₀, одержуємо

. (4)

Обчислення.

Па;

A = 2·3,14·0,1²·40·10^-3 = 2,5·10^-3 Дж.

Відповідь: = 3,2 Па; A = 2,5·10^-3 Дж.