Приклади розв’язку задач

Приклад 1. Три однакові точкові заряди по 1 нКл кожен розміщені у вершинах рівностороннього трикутника. Який негативний заряд потрібно помістити в центрі трикутника, щоб зазначена система зарядів знаходилася у рівновазі?

Дано: q ₁ = q ₂ = q ₃ = 10^-9 Кл; = = = 60⁰.

Знайти: q ₄.

Розв’язок. Оскільки всі три заряди у вершинах трикутника знаходяться в однакових умовах, досить з’ясувати, який заряд потрібно помістити в центр трикутника, щоб який-небудь один із трьох зарядів знаходився в рівновазі. Заряд q ₁ буде знаходитись в рівновазі, якщо векторна сума діючих на нього сил дорівнює нулю (рис. 3.1)

, (1) де , і – сили, з якими діють на обраний заряд q 1 відповідно заряди q 2, q 3 і q 4. Введемо допоміжну силу , що є рівнодіючою сил і , і спрямована уздовж прямої, що з’єднує центр трикутника з даним зарядом . (2)

Рис. 3.1.

Сили і спрямовані уздовж однієї прямої, але в протилежні боки, тому, з урахуванням виразу (2), можна перейти до скалярної форми рівняння (1)

або . (3)

Із симетрії задачі випливає, що сили F ₂ і F ₃ однакові за величиною. Тому, застосовуючи закон Кулона для величин, що входять у (3), легко одержати (рис. 3.1)

; (4 а)

, (4 б)

де відстань r ₁ можна знайти з геометрії трикутника

. (5)

Підставляючи вираз (4) у (3), одержимо

. (6)

Звідси, використовуючи (5), можна одержати остаточно

. (7)

Обчислення.

= 5,77·10^-9 Кл.

Відповідь: q ₄ = 5,77·10^-9 Кл.

Приклад 2. Два точкові електричні заряди 1 нКл і –2 нКл знаходяться у повітрі на відстані 10 см один від одного. Визначити напруженість і потенціал електричного поля, створюваного цими зарядами, у точці, віддаленій від першого заряду на 9 см і від другого – на 7 см.

Дано: q ₁= 10^-9 Кл; q ₂= –2·10^-9 Кл; d = 0,1 м; r ₁= 9·10^-2 м; r ₂= 7·10^{-2 м.}

Знайти: E; .

Розв’язок. Відповідно до принципу суперпозиції, напруженість електричного поля в пошукуваній точці дорівнює векторній сумі полів і , створених кожним зарядом q ₁ і q ₂ окремо

, (1)

де

; (2 а)

. (2 б)

Вектор (рис. 3.2) спрямований уздовж силової лінії від заряду

q 1, оскільки цей заряд позитивний; вектор спрямований за силовою лінії до заряду q 2, тому що цей заряд негативний. Модуль результуючого вектора знайдемо за теоремою косинусів . (3)

Рис. 3.2.

Тут – кут між векторами і , що може бути також визначений за теоремою косинусів із трикутника, утвореного сторонами d, r ₁ і r ₂

. (4)

Підставляючи в (3) вираз (2) і (4), одержимо

. (5)

Потенціал результуючого поля, відповідно до принципу суперпозиції, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів

. (6)

Тут і – потенціали полів точкових зарядів q ₁ і q ₂ у пошукуваній точці

; (7 а)

. (7 б)

Таким чином, з (6) і (7) одержимо

, (8)

де варто враховувати знаки зарядів q ₁ і q ₂.

При обчисленнях візьмемо до уваги, що в одиницях СІ загальний множник виразів (5) і (8) дорівнює

= 9·10⁹ м/Ф.

Обчислення.

= 3,58·10³ В/м;

В.

Відповідь: E = 3,58·10³ В/м; В.

Приклад 3. Уздовж тонкого кільця рівномірно розподілений заряд у 40 нКл з лінійною густиною 50 нКл/м. Визначити напруженість електричного поля, створеного цим зарядом у точці, що лежить на осі кільця і віддалена від його центра на відстань, що дорівнює половині радіуса.

Дано: q = 4·10^-8 Кл; = 5·10^-8 Кл/м; h = R /2.

Знайти: E.

Розв’язок. Виділимо на кільці малу ділянку довжиною dl (рис. 3.3). Оскільки заряд dq 1 = dl, який знаходиться на цій ділянці, вважається точковим, то напруженість електричного поля , що створено цим зарядом, можна записати у вид . (1)

Рис. 3.3.

Розкладемо вектор на дві складові: , перпендикулярну площини кільця, і , паралельну до площини кільця, тобто

. (2)

Напруженість E електричного поля в пошукуваній точці знайдемо інтегруванням

,

де інтегрування ведеться по всіх елементах зарядженого кільця. З рисунка бачимо, що для кожної пари зарядів dq і dq ′, розташованих симетрично щодо центра кільця, складові і однакові за модулем і протилежні за напрямком: . Тому векторна сума . Складові для всіх елементів кільця напрямлені уздовж осі кільця, тому

, (3)

де , або з урахуванням (1) , , .

З урахуванням цього

. (4)

Із співвідношення визначимо радіус кільця . Тоді

. (5)

Зробимо обчислення.

= 7,92·10³ В/м.

Відповідь: E = 7,92·10³ В/м.

Приклад 4. Нескінченна площина, розташована вертикально, заряджена рівномірно з поверхневою густиною заряду 40 мкКл/м². На шовковій нитці, один з кінців якої закріплений у точці на цій площині, підвішена кулька масою 1 г, що несе заряд 1 нКл. Який кут із площиною утворить нитка, на якій висить кулька?

Дано: = 4·10^-5 Кл/м²; q = 10^-9 Кл; m = 10^{-3 кг.}

Знайти: .

Розв’язок. У стані рівноваги результуюча усіх сил, що діють на кульку (рис. 3.4), дорівнює нулю

. (1)

Тут , і – відповідно сила ваги, сила кулонівського відштовхування і сила натягу нитки. Векторна сума взаємно перпендикулярних сил і (на рис. 3.4 – сила ) спрямована уздовж нитки і в стані рівноваги урівноважується силою . З цього випливає, що пошукуваний кут дорівнює кутові між векторами і , тому

Рис. 3.4.

. (2)

Кулонівська сила, що діє на заряджену кульку в однорідному електричному полі площини, дорівнює

. (3)

Тут E – напруженість електричного поля, створювана рівномірно зарядженою площиною

. (4)

Таким чином, з (2)–(4) можна одержати остаточний вираз для пошукуваного кута

. (5)

Обчислення.

= 13⁰.

Відповідь: = 13⁰.

Приклад 5. Електричне поле створене довгим циліндром радіусом 1 см, рівномірно зарядженим з лінійною густиною 20 нКл/м. Визначити швидкість, яку одержить електрон під дією поля, наблизившись до циліндра з відстані 2 см до відстані 0,5 см від поверхні циліндра.

Дано: R = 10^{-2 м; = 2·10-8} Кл/м; a ₁ = 2·10^{-2 м; a} ₂ = 5·10^{-3 м; Кл; m = 9,1·10-31 кг; = 0.}

Знайти: .

Розв’язок. Електрон рухається під дією електростатичного поля, створеного зарядженим циліндром. У довільній точці на відстані r від осі циліндра () напруженість E його електростатичного поля визначається формулою

. (1)

Робота переміщення електрона в електростатичному полі дорівнює добуткові заряду на різницю потенціалів

. (2)

Тут і – потенціал електростатичного поля циліндра відповідно у точках, що знаходяться на відстані r ₁ і r ₂ від осі, де

; (3 а)

. (3 б)

Ця робота витрачається на зміну кінетичної енергії електрона, отже

, (3)

де .

Для визначення різниці потенціалів скористаємось співвідношенням між напруженістю поля і зміною потенціалу

. (4)

Підставивши в це рівняння вираз для напруженості поля, створюваного нескінченно довгим циліндром, одержимо

. (5)

Остаточно, підставляючи (4) у (3), можна одержати пошукувану розрахункову формулу

. (5)

Обчислення.

м/с.

Відповідь: м/с.

Приклад 6. На плаский повітряний конденсатор подається різниця потенціалів 2 кВ. Розміри пластин 40х60 см², відстань між ними
0,5 см. Після зарядки конденсатор відключають від джерела і потім розсувають пластини так, що відстань між ними збільшується вдвічі. Визначити: роботу з розсування пластин; густину енергії електричного поля до і після розсування обкладок.

Дано: U ₁ = 2·10³ В; S = 0,24 м²; d ₁ = 5·10^{-3 м; d} ₂ = 2 d ₁; = 1.

Знайти: A, w ₁, w ₂.

Розв’язок. Робота з розсування пластин дорівнює зміні енергії зарядженого конденсатора

A = W ₂ – W ₁. (1)

Енергія конденсатора визначається формулами

; , (2)

де C ₁ і C ₂ – ємність конденсатора до і після розсування обкладок

; . (3)

Вважаючи на те, що конденсатор було відключено від джерела, заряд q на його обкладках не змінився, тобто

q = C ₁ U ₁ = C ₂ U ₂. (4)

Підставляючи вираз (3) у (4), легко одержати:

. (5)

Підставивши (2), (3) і (5) у (1), знайдемо:

. (6)

Об’ємну густину енергії електричного поля в конденсаторі можна знайти, розділивши його енергію на об’єм

; (7 а)

. (7 б)

У даній задачі зв’язок між напругами конденсатора в двох станах виражається формулою (5). Підставляючи її в (7 б) одержимо

. (8)

Обчислення.

= 8,45·10^-4 Дж;

= 0,7 Дж·м^-3.

Відповідь: А = 8,45·10^-4 Дж; w ₂ = w ₁ = 0,7 Дж·м^-3.

Приклад 7. Конденсатор ємністю 3 мкФ було заряджено до різниці потенціалів 40 В. Після відключення від джерела струму конденсатор з’єднали паралельно з іншим незарядженим конденсатором об’ємом 5 мкФ. Яка енергія була витрачена на утворення іскри у момент приєднання другого конденсатора?

Дано: C ₁ = 3·10^-6 Ф; C ₂ = 5·10^-6 Ф; U ₁ = 40 В; U ₂ = 0 В.

Знайти: .

Розв’язок. Енергія, витрачена на утворення іскри

, (1)

де – енергія конденсатора; – енергія батареї паралельно з’єднаних конденсаторів.

З огляду на те, що заряд після приєднання другого конденсатора залишився попереднім, виразимо різницю потенціалів U ₂ у такий спосіб

. (2)

Підставивши вираз для U ₂, знайдемо

або . (3

Обчислення.

Дж = 1,5·10^-3 Дж.

Відповідь: 1,5·10^-3 Дж.

Приклад 8. Батарея складається з п’яти однакових гальванічних елементів, з’єднаних послідовно. Кожен з цих елементів має ЕРС 1,4 В и внутрішній опір 0,3 Ом. При якому струмі корисна потужність батареї буде дорівнювати 8 Вт? Яку найбільшу корисну потужність може віддавати ця батарея?

Дано: = 1,4 В; r = 0,3 Ом; n =5; P_R = 8 Вт.

Знайти: I; P_R,max.

Розв’язок. При послідовному з’єднанні декількох гальванічних елементів їх можна замінити в розрахунках одним еквівалентним елементом. Внутрішній опір цього еквівалентного елемента дорівнює сумі внутрішніх опорів тих елементів, з яких він складений, а його ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС елементів. Це дозволяє записати закон Ома для даної задачі у такому вигляді

. (1)

Корисна потужність, тобто потужність, що виділяється у навантаженні з опором R, дорівнює

. (2)

Якщо тепер виразити опір R з рівняння (2) і підставити результат у вираз (1), після нескладних перетворень можна одержати таке квадратне (по струму I) рівняння

. (3)

Рішення цього рівняння має стандартний вигляд

. (4)

Щоб знайти найбільшу корисну потужність, що віддається цією батареєю в зовнішнє коло, спочатку запишемо потужність як функцію опору навантаження, для чого підставимо вираз (1) у (2)

. (5)

Тепер скористаємося умовою екстремуму (максимуму) цієї функції, для чого знайдемо похідну від виразу (5) від змінної R, і дорівняємо її нуля

. (6)

З розв’язку цього рівняння випливає

. (7)

Підставляючи це рішення у вираз (5), одержимо остаточну формулу для обчислення максимальної потужності, що віддається даною батареєю в навантаження

. (8)

Обчислення.

,

звідки

I ₁ = 2,66 A; I ₂ = 2,0 A; = 8,16 Вт.

Відповідь: I ₁ = 2,66 A; I ₂ = 2,0 A; P _R,max = 8,16 Вт.

Приклад 9. З яким коефіцієнтом корисної дії працює акумулятор, ЕРС якого 2,15 В, якщо у зовнішньому колі опором 0,25 Ом тече струм 5 А?

Дано: = 2,15 В; R = 0,25 Ом; I = 5 А.

Знайти: .

Розв’язок. Корисна потужність P_R, що виділяється у навантаженні опором R, може бути визначена з виразом

. (1)

Повну потужність P _Σ, що віддається акумулятором, знайдемо з виразу

P _Σ = I . (2)

Коефіцієнт корисної дії, мабуть, дорівнює відношенню корисної потужності до повної. Таким чином, з (1) і (2) легко одержати остаточну розрахункову формулу

. (3)

Обчислення.

= 0,58.

Відповідь: = 58 %.

Приклад 10. У провіднику опором 20 Ом сила струму зростає за лінійним законом від нуля до 6 А за 2 с. Визначити кількість теплоти, що виділяється в цьому провіднику за першу секунду і за другу секунду. У скільки разів теплота, виділена за другу секунду, більша від теплоти, виділеної за першу секунду?

Дано: R = 20 Ом; t ₀ = 0; t _k = 2 c; I ₀ = 0; I = 6 А; = 2 c.

Знайти: Q ₁, Q ₂, Q ₂, Q ₁.

Розв’язок. Закон Джоуля-Ленца у виді справедливий для постійного струму. Якщо сила струму в провіднику змінюється, то цей закон справедливий для нескінченно малого інтервалу часу і записується так

. (1)

Тут сила струму I є деякою функцією часу , де k – коефіцієнт пропорційності, що характеризує швидкість зміни сили струму

А/с = 3 А/с. (2)

Тоді .

Для визначення теплоти, що виділяється за час Δ t, проінтегруємо цей вираз

. (3)

Тоді

Дж = 60 Дж;

Дж = 420 Дж.

Отже, , тобто за другу секунду виділяється теплоти в 7 разів більше, ніж за першу.

Відповідь: Q ₁ = 60 Дж; Q ₂ = 420 Дж; n = 7.

Приклад 11. Визначити силу струму в усіх ділянках кола, вказаного на рис. 3.5, і що включають ЕРС ( = = 3 В, = 1 В), а також провідники, що мають опори R 1 = 5 Ом, R 2 = 3 Ом, R 3 = 1 Ом.

Рис. 3.5.

Дано: = = 3 В; = 1 В; R ₁ = 5 Ом; R ₂ = 3 Ом; R ₃ = 1 Ом.

Знайти: I ₁, I ₂, I ₃.

Розв’язок. Для розв’язку задачі використовуються закони Кірхгофа. Якщо напрямок струмів вибрати так, як показано на рис. 3.5, то за першим законом Кірхгофа для вузла а одержимо

I ₂ – I ₁ – I ₃ = 0. (1)

За другим законом Кірхгофа для контуру (, , R ₂ і R ₃), лівого на схемі, можна записати рівняння

. (2)

Для іншого контуру (e ₁, R ₁ і R ₃), правого на схемі, маємо аналогічне рівняння

. (3)

Отримані рівняння являють собою систему трьох рівнянь із трьома невідомими, котру нескладно розв’язати. Зокрема, із другого рівняння можна вивести струм I ₂ через струм I ₃ і відомі величини, а з третього – струм I ₁ через струм I ₃ і відомі величини

; (4 а)

. (4 б)

Після підстановки цих виразів у перше рівняння легко одержати остаточну формулу для струму I ₃

. (4 в)

Зробимо обчислення.

= 0,826 А.

Підставляючи отриманий результат у формули для I ₁ і I ₂, одержимо

А;

А.

Для перевірки отримані результати підставимо у вихідне рівняння, записане за першим законом Кірхгофа

0,391 – (–0,435) – 0,826 = 0.

Таким чином, ми переконалися, що задача розв’язана вірно. Для I ₁ отримано негативне значення. Це означає, що в дійсності напрямок даного струму виявився протилежним до того, який було обрано нами довільно (див. рис. 3.5).

Відповідь: I ₁ = –0,435 А; I ₂ = 0,391 А; I ₃ = 0,826 А.