(только для студентов заочной формы, со сроком обучения 5 лет)
Вариант 1
1. Вычислить матрицу , где и .
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 2
1. Вычислить матрицу , где и .
|
|
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 3
1. Вычислить матрицу , где и .
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
|
|
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 4
1. Вычислить матрицу , где и .
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 5
1. Вычислить матрицу , где и .
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 6
1. Вычислить матрицу , где и .
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 7
1. Вычислить матрицу , где и .
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
|
|
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 8
1. Вычислить матрицу , где и .
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 9
1. Вычислить матрицу , где и .
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 10
1. Вычислить матрицу , где и .
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
|
|
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Демонстрационный вариант контрольной работы №1
1. Вычислить матрицу , где и .
2. Даны матрицы:
и . Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: .
7. Вычислить пределы функций:
Решение демонстрационного варианта контрольной работы № 1
Решение задачи 1
1) вычислим :
4 =
2) Найдём :
Найдём определитель матрицы : , следовательно, обратная матрица существует.
Найдём алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .
Составим матрицу из этих алгебраических дополнений .
Запишем матрицу . .
3) Вычислим произведение
.
4) .
Ответ: .
Решение задачи 2
1)
2)
3)
4)
Из 2)-4) следует, что , т.к. что и требовалось доказать.
Ответ: .
Решение задачи 3
1. Метод Крамера
Вычислим определитель системы: .
Найдём :
Проверка:
подставим полученные значения неизвестных в систему
Ответ: .
2. Метод обратной матрицы
, где
Так как определитель матрицы системы отличен от нуля: , то матрица имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы .
Матричное решение системы имеет вид
откуда следует (из условия равенства двух матриц), что
Ответ: .
3. Метод Гаусса
Составим расширенную матрицу и применим к ней преобразования:
Итак, расширенная матрица с помощью элементарных преобразований сведена к ступенчатому виду. Перейдём к равносильной системе
отсюда
Ответ:
Решение задачи 4
1) Находим векторы и :
Длины этих векторов, т.е. длины рёбер и , таковы:
2) Найдём скалярное произведение векторов и
косинус угла между ними вычисляется по формуле:
Отсюда следует, что - тупой угол, равный . Это и есть искомый угол между рёбрами и .
3) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов
.
Следовательно, (кв.ед.)
4) Объём пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах
, , . Вектор (3, -2,4).
(куб. ед.)
5) Используем способ задания плоскости через три точки:
.
;
.
;
Решение задачи 5
Приведём уравнение кривой второго порядка к каноническому виду:
Это уравнение эллипса с центром в точке (3; 0), большой полуосью 2
и малой равной .
Найдём точки пересечения прямой и эллипса, для этого надо решить следующую систему:
.
Подставив вместо х в первое уравнение выражение (2-у), получим
. Отсюда . Значения х находим, используя второе уравнение системы .
Построим графики
Ответ: рис.; .
Решение задачи 6
Построить графики функций
1) - этот график получается из графика сдвигом по оси Ох на 2 единицы влево и на 3 единицы вверх по оси Оу.
2) - этот график получается из графика сдвигом по оси Ох на 2 единицы вправо и на 5 единиц вниз по оси Оу.
Решение задачи 7
1) ;
Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида .
Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на . В результате получим
, поскольку при функции и являются бесконечно малыми.
2) ;
Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим
.
3) ;
Для раскрытия получающейся здесь неопределённости вида используем метод замены бесконечно малых эквивалентными. Так как , то
при , а
. Итак, получаем .
4)
.
Ответ: 1) –3; 2) 2; 3) –8; 4)