2015-10-22
1098
(только для студентов заочной формы, со сроком обучения 5 лет)
Вариант 1
1. Вычислить матрицу 
, где 
и 
.
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение 
. Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды 
найти:
1) длины рёбер 
и 
;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани 
;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и 
.
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка 
к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой 
. Построить в одной системе координат графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 2
1. Вычислить матрицу 
, где 
и 
.
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 3
1. Вычислить матрицу 
, где 
и 
.
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 4
1. Вычислить матрицу 
, где 
и 
.
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 5
1. Вычислить матрицу 
, где и .
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 6
1. Вычислить матрицу 
, где 
и 
.
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 7
1. Вычислить матрицу 
, где и 
.
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 8
1. Вычислить матрицу 
, где 
и .
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 9
1. Вычислить матрицу 
, где и .
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Вариант 10
1. Вычислить матрицу 
, где 
и .
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Демонстрационный вариант контрольной работы №1
1. Вычислить матрицу 
, где 
и 
.
2. Даны матрицы:
и 
. Найти произведение . Проверить на данном
примере, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
3. Найти решение системы линейных уравнений: 1) методом Гаусса, 2) методом Крамера, 3) методом обратной матрицы, для чего записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины рёбер и ;
2) угол между рёбрами и ;
3) площадь грани ;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскостей и .
.
5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти
точки пересечения её с прямой . Построить в одной системе координат
графики кривой и прямой.
.
6. Построить графики функций: 
.
7. Вычислить пределы функций:
Решение демонстрационного варианта контрольной работы № 1
Решение задачи 1
1) вычислим 
:
4 
= 
2) Найдём 
:
Найдём определитель матрицы 
: 
, следовательно, обратная матрица существует.
Найдём алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .
Составим матрицу из этих алгебраических дополнений 
.
Запишем матрицу 
. 
.
3) Вычислим произведение 
.
4) 
.
Ответ: 
.
Решение задачи 2
1) 
2) 
3) 
4) 
Из 2)-4) следует, что 
, т.к. 
что и требовалось доказать.
Ответ: 
.
Решение задачи 3
1. Метод Крамера
Вычислим определитель системы: 
.
Найдём 
:
Проверка:
подставим полученные значения неизвестных в систему
Ответ: 
.
2. Метод обратной матрицы
, где 
Так как определитель матрицы системы отличен от нуля: 
, то матрица имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы .
Матричное решение системы имеет вид
откуда следует (из условия равенства двух матриц), что 
Ответ: .
3. Метод Гаусса
Составим расширенную матрицу и применим к ней преобразования:
Итак, расширенная матрица с помощью элементарных преобразований сведена к ступенчатому виду. Перейдём к равносильной системе
отсюда
Ответ:
Решение задачи 4
1) Находим векторы 
и 
:
Длины этих векторов, т.е. длины рёбер и , таковы:
2) Найдём скалярное произведение векторов и
косинус угла между ними вычисляется по формуле:
Отсюда следует, что 
- тупой угол, равный 
. Это и есть искомый угол между рёбрами и .
3) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов
.
Следовательно, 
(кв.ед.)
4) Объём пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах
, , 
. Вектор (3, -2,4).
(куб. ед.)
5) Используем способ задания плоскости через три точки:
.
;
.
;
Решение задачи 5
Приведём уравнение кривой второго порядка к каноническому виду:
Это уравнение эллипса с центром в точке (3; 0), большой полуосью 2
и малой равной 
.
Найдём точки пересечения прямой и эллипса, для этого надо решить следующую систему:
.
Подставив вместо х в первое уравнение выражение (2-у), получим
. Отсюда 
. Значения х находим, используя второе уравнение системы 
.
Построим графики
 |
Ответ: рис.; 
.
Решение задачи 6
Построить графики функций
1) 
- этот график получается из графика 
сдвигом по оси Ох на 2 единицы влево и на 3 единицы вверх по оси Оу.
 |
2) 
- этот график получается из графика 
сдвигом по оси Ох на 2 единицы вправо и на 5 единиц вниз по оси Оу.
 |
Решение задачи 7
1) 
;
Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида 
.
Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на 
. В результате получим
, поскольку при 
функции 
и 
являются бесконечно малыми.
2) 
;
Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида 
. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим
.
3) 
;
Для раскрытия получающейся здесь неопределённости вида используем метод замены бесконечно малых эквивалентными. Так как 
, то
при 
, а
. Итак, получаем 
.
4) 
.
Ответ: 1) –3; 2) 2; 3) –8; 4) 
