Контрольная работа № 3

(только для студентов заочной формы, со сроком обучения 5 лет)

Вариант 1

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б)

4. Найти и построить несколько линий уровня данной функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных при условии .

7. В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) .

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Вариант 2

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б)

4. Найти и построить несколько линий уровня данной функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных при условии .

7. Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену снизили на 15%, а потом новую цену ещё раз снизили на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б)

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда.

Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Вариант 3

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б)

4. Найти и построить несколько линий уровня данной функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных

при условии .

7. Цена одного товара была дважды повышена на одно и тоже число процентов, каждый раз. Другой товар, первоначальная цена которого была в четыре раза больше первоначальной цены первого, был дважды уценён на то же самое число процентов. Найти проценты изменения стоимостей товаров, если окончательная сумма их цен на 4,64 % меньше их первоначальной суммарной стоимости.

8. Исследовать на сходимость числовые ряды: а) ; б) .

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение под интегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда.

Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Вариант 4

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б)

4. Найти и построить несколько линий уровня данной функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных при условии .

7. Для офиса решили купить 4 факса и 3 телефона на сумму 2940 руб. удалось снизить цену на факс на 20%, и в результате за ту же покупку уплатили 2652 руб. Найти цену телефона.

8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б)

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Вариант 5

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б)

4. Найти и построить несколько линий уровня данной функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных при условии .

7. Группа экспертов по плану должна исследовать 360 сторублёвых купюр, поступивших на экспертизу. Первые 8 дней они перевыполнили дневное задание на 20%. В оставшиеся дни они перевыполнили задание на 25%. В результате группа экспертов смогла дополнительно исследовать 82 купюры того же достоинства. Сколько дней работала группа экспертов?

8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б)

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Вариант 6

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б)

4. Найти и построить несколько линий уровня данной функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных при условии .

7. Результаты работы УВД за последние три года определены следующим образом. Раскрываемость правонарушений за второй год работы сотрудников УВД возросла на р%, а на следующий год она возросла на 10% больше, чем в предыдущий. Определить, на сколько процентов увеличилась раскрываемость за второй год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%?

8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) .

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Вариант 7

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б)

4. Найти и построить несколько линий уровня данной функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных при условии .

7. На первом поле 65% площади засеяно маком. На втором поле под маком занято 45% площади. Известно, что на первом и втором полях вместе под овсом занято 53% общей площади. Какую часть всей засеянной площади занимает первое поле?

8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) .

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Вариант 8

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б)

4. Найти и несколько линий уровня данной функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных при условии .

7. Банк начисляет ежегодно р% суммы вклада. Через сколько лет внесённая сумма увеличится в 5 раз?

8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) .

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Вариант 9

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б)

4. Найти и построить несколько линий уровня данной функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных при условии .

7. После двух последовательных повышений зарплата возросла в 1 раза. На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз, если второе повышение было в процентном отношении в двое больше первого?

8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) .

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Вариант 10

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б)

4. Найти и построить линии уровня данной функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных при условии .

7. Вкладчику на его сбережения банк через год начислил 6000 руб. процентных денег. Добавив 44000 руб., вкладчик оставил деньги ещё на год. По истечении года вновь было произведено начисление процентов, и теперь вклад вместе с процентами составил 257500 руб. Какая сумма первоначально была положена в банк?

8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) .

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Демонстрационный вариант контрольной работы № 3

1. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: а) ; б) .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; , .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б) .

4. Найти и построить линии уровня функции: .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на условный экстремум функцию двух переменных при условии .

7. Число 21,6 трижды увеличивали на одно и тоже число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 6,4. На сколько процентов увеличили, а затем уменьшили число?

8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) .

9. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

10. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Решение демонстрационного варианта контрольной работы № 3

Задание №1.

а) - это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные, т.е. получим уравнение .

Интегрируем обе части полученного уравнения

- общее решение.

б) - это линейное дифференциальное уравнение 1 – ого порядка.

Первый способ: метод подстановки. Пусть , тогда . Подставив в исходное уравнение, получим . Группируем таким образом, чтобы в скобках была только одна функция или , т.е. (можно ). Далее выбираем функцию так, чтобы выражение в скобках обращалось в нуль, т.е.

.

Подставим найденное в уравнение , получим .

Общее решение уравнение .

Второй способ. Метод вариации произвольной постоянной. Предварительно решаем линейное уравнение .

Затем решение исходного уравнения ищем в виде , т.е. заменяем константу неизвестной функцией. Подставляем это решение в уравнение, получим

.

Искомое общее решение уравнение .

Ответ: .

Задание №2.

; , .

- это неоднородное дифференциальное уравнение 2 – ого порядка с постоянными коэффициентами .

Рассмотрим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид ,

. Следовательно, - общее решение однородного уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

Имеем .

Подставим эти значения в неоднородное уравнение

Итак, - общее решение.

Найдём частное решение:

.

Итак, найдём частное решение .

Ответ: ; .

Задание №3.

Ответ: ; ; ; ; ;

.

Задание №4.

Найдём линии уровня , где ;

Если с=0, то

Если с=1, то

Если с= , то

Если с=2, то и т. д.

Итак, одна из линий уровня , а все остальные получаются из неё параллельным сдвигом по оси Оу вверх. Построим несколько линий уровня.

0 с=1

Задание №5.

Найдём критические точки:

;

Решая эту систему, найдём точки, в которых частные производные обращаются в нуль: М₁(0,0) и М₂(1,1).

Вторые производные , , .

Определитель .

В точке М₁(0,0) имеем , следовательно, экстремума в этой точке нет. В точке

М₂(1,1) имеем , причём , следовательно, в точке М₂ – минимум.

.

Ответ: точка М₂(1,1) – точка минимума; .

Задание №6.

Найти экстремумы функции при условии .

Составляем функцию Лагранжа: . Находим частные производные и составляем необходимые условия экстремума функции Лагранжа:

В данном случае

Тип экстремума определяется с помощью достаточного условия экстремума: Если в критической точке при , то в точке - максимум функции . Если при , то в точке - минимум функции . При вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.

Для исследования на экстремум в полученных критических точках вычисляем значения :

1) Исследуем точку

функция в точке имеет условный минимум .

2) Исследуем точку

функция в точке

точке условный максимум, .

Ответ: .

Задание №7.

Для решения этой задачи используем формулу сложных процентов:

В результате получаем следующее выражение:

или

отсюда ,

извлекая корень третьей степени из левой и правой частей, получим:

или .

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получим: , отсюда .

Ответ: на 57,7 %

Задание №8.

а)

Это положительный числовой ряд, можно применить один из пяти достаточных признаков сходимости.

Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера. Т.к. общий член ряда , то, заменяя в выражении n – го члена n на n+1, находим

. Затем ищем предел отношения последующего члена к предыдущему при

.

Итак, , следовательно, ряд сходится.

б)

Это знакочередующийся ряд. Воспользуемся признаком Лейбница. Для этого нам надо показать, что

1) члены ряда по модулю убывают, т.е.

2)

Проверим эти условия:

1)

, т.е. первое условие выполняется.

2) выполняется второе условие.

Итак, условия 1, 2 выполняются, следовательно, ряд сходится.

Выясним, сходится он абсолютно или условно, для этого исследуем ряд, составленный из модулей : - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ряд сходится исходный ряд сходится абсолютно.

Ответ: а) ряд сходится; б) ряд сходится абсолютно.

Задание №9.

Решение: Это степенной ряд в точке х=4, где .

Радиус сходимости находим по формуле .

Интервал сходимости данного ряда определяется неравенством или .

Исследуем концы интервала сходимости. При получаем числовой ряд

- знакочередующийся числовой ряд.

Очевидно, ряд расходится, т.к. , т.е. не выполняется необходимый признак сходимости х=0 не принадлежит области сходимости.

При получаем числовой ряд . Этот ряд тоже расходится, т.к. х=8 не принадлежит области сходимости.

Ответ: радиус сходимости равен 4; интервал сходимости .

Задание №10.

Вычислить с точностью до 0,001

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд

=

Подставим в интеграл вышеприведённое разложение подынтегральной функции и, почленно интегрируя в указанных пределах, получаем:

.

Уже третий член меньше 0,001. Поэтому для вычисления приближённого значения интеграла с требуемой точностью достаточно ограничиться первыми двумя членами ряда:

.

Ответ: -0,19.