Тема 2. Системы линейных уравнений

1) Решить систему матричным способом: .

Пусть . Тогда данную систему можно записать в виде матричного уравнения . Решаем его, домножая слева на обратную матрицу: Отсюда получаем решение . Найдем сначала .

.

,значит ).

Составляем обратную матрицу

Найдем

,

т.е. .

Проверка. Подставим найденное решение в исходную систему:

1-2+3=2 (истина), 2·1+2-3=1 (истина), 1-2·2=-3 (истина).

Ответ .

2) Решить систему методом Крамера. Возьмем эту же систему и решим её с помощью определителей.

. Запишем определитель системы: (Найден выше).

Заменим в столбец коэффициентов при х на столбец правых частей

Заменим в столбец коэффициентов при у на столбец правых частей

Заменим в столбец коэффициентов при z на столбец правых частей

.

По формулам Крамера получаем решение: . Ответ: .

3. Решить системы методом Гаусса:

а)

Выписываем расширенную матрицу

и с помощью элементарных преобразований приводим ее или к треугольному виду, или к виду трапеции (как получится).

(3)

_{x y z}

: (-1) : (-6)

. rA=3, rB=3 r=3. Так как

число неизвестных n=3 и равно рангу системы, то система имеет единственное решение. По полученной матрице восстанавливаем систему уравнений. Идя снизу вверх, получаем это решение: . Из последнего уравнения z=3, из второго находим y=5-z=5-3=2. Подставляя в первое уравнение найденные y=2 и z=3, находим x=2+y-z=2+2-3=4-3=1. Ответ: .

б)

(-1)

rA=2, rB=3. Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т.е. не имеет решения). Выпишем уравнение, соответствующее последней строке полученной матрицы: , что невозможно.

Ответ: система не имеет решения.

в)

Записываем расширенную матрицу:

: (-1) . rA=rB=2 Система совместна.

Число неизвестных n=3 r=2 Система имеет бесконечное множество решений. n-r=3-2=1 Одна свободная переменная, пусть это будет z, тогда x,y – базисные (базисных неизвестных столько, каков ранг системы, то есть сколько ненулевых строк остается в последней матрице).

Запишем систему, соответствующую полученной матрице: .

Идя снизу вверх, выражаем базисные неизвестные через свободную z. Из второго уравнения выражаем y=-4-4z, из первого уравнения x=y+z+1=(-4-4z)+z+1=

=-4-4z+z+1=-3-3z.

Общее решение:

Из общего решения можно получить любое частное решение. Пусть z=-2, тогда получим частное решение: x=-3-3 (-2)=-3+6=3; y=-4-4 (-2)=-4+8=4.

Частное решение:

.

Выполним проверку общего решения. Для этого подставим найденные выражения для x,y,z в уравнения исходной системы:

Ответ: .