Определение положения точки с помощью декартовых координат не является единственным способом.
Пусть дана некоторая плоскость. Выберем на ней точку , из нее проведем луч . На этом луче выберем единицу масштаба. Тогда любая точка плоскости будет однозначно определена, если известно ее расстояние от точки , то есть длина отрезка , и угол , образованный лучом и отрезком . Пара чисел и называется полярными координатами точки : – полярный угол, – полярный радиус, луч – полярная ось, точка – полюс.
Угол φ считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси в направлении, противоположном направлению часовой стрелки. Область изменения полярных координат определяется системой неравенств: .
Если полюс полярной системы координат совместить с началом некоторой декартовой системы, заданной на той же плоскости, а полярную ось направить по оси , то полярные координаты и некоторой точки будут связаны с декартовыми координатами и следующими соотношениями:
Если известны полярные координаты и , то декартовы координаты и точки вычисляются по формулам:
|
|
.
Пример 12. Найти полярные координаты точки , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.
Решение.
Имеем
угол находится в четвертой четверти, то есть
Ответ: .
Решение типового варианта
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) угол в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты и ее длину; 5) уравнение медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой ; 6) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне ; 7) координаты точки , расположенной симметрично точке относительно прямой .
Решение.
1.Расстояние между точками и определяется по формуле
(1)
Применяя (1), находим длину стороны : .
2. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид
(2)
Подставляя в (2) координаты точек и , получим уравнение стороны : ; ; ; ;
.
Решив последнее уравнение относительно , находим уравнение стороны в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
; , откуда .
Подставив в (2) координаты точек и , получим уравнение прямой :
; ; ;
, откуда .
3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны , вычисляется по формуле
(3)
Искомый угол образован прямыми и , угловые коэффициенты которых найдены: ; Применяя (3), получим
;
, или рад рад.
4. Уравнение прямой проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид (4)
Высота перпендикулярна стороне . Чтобы найти угловой коэффициент высоты , воспользуемся условием перпендикулярность прямых. Так как , то . Подставив в (4) координаты точки и найденный угловой коэффициент высоты, получим
|
|
; ; .
Чтобы найти длину высоты , определим сперва координаты точки – точки пересечения прямых и . Решая совместно систему находим , т.е. .
По формуле (1) находим длину высоты : .
5. Чтобы найти уравнение медианы , определим сначала координаты точки , которая является серединой стороны , применяя формулы деления отрезка на две равные части:
(5)
Следовательно, ; .
Подставив в (2) координаты точек и , находим уравнение медианы: ; ; .
Чтобы найти координаты точки пересечения высоты и медианы , решим совместно систему уравнений
, ; .
6. Так как искомая прямая параллельна стороне , то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой . Подставив в (4) координаты найденной точки и угловой коэффициент , получим ; ; .
7. Так как прямая перпендикулярна прямой , то искомая точка , расположенная симметрично точке относительно прямой , лежит на прямой . Кроме того, точка является серединой отрезка . Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки :
; ; ; ; .
Треугольник , высота , медиана , прямая и точка построены в системе координат на рис. 6.
Рис.6
Задача 2. Даны координаты четырех точек: , ,
С (3; 2; 0) и . Требуется: 1) составить уравнение плоскости , проходящей через точки , и ; 2) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости ; 3) найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью и с координатными плоскостями , и ; 4) найти расстояние от точки до плоскости .
Решение.
1. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , , , имеет вид (1)
Подставив в (1) координаты точек , и , получим:
Разложим определитель по элементам первой строки:
.
Сократив на 5, получим уравнение искомой плоскости :
(2)
2. Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид ; (3)
где - координаты точки, через которую проходит прямая (3), а - координаты направляющего вектора этой прямой. По условию прямая проходит через точку и перпендикулярна плоскости . Следовательно, подставив в (3) координаты точки и заменив числа соответственно числами 2; –1; –2 [коэффициенты общего уравнения плоскости (2)], получим
. (4)
3. Чтобы найти точки пересечения прямой (4) с плоскостью (2), запишем сначала уравнение прямой (4) в параметрическом виде.
Пусть , где t – некоторый параметр. Тогда уравнение прямой можно записать так:
. (5)
Подставив (5) в(2), получим значение параметра t:
; ; ; .
Подставим в (5) , находим координаты точки пересечения прямой (4) с плоскостью (2): ;
Пусть – точка пересечения прямой (4) с координатной плоскостью ; уравнение этой плоскости .
При из (5) получаем .
Пусть – точка пересечения прямой (4) с плоскостью ; уравнение этой плоскости .
При из (5) получаем ; ; ; .
Пусть – точка пересечения прямой (4) с плоскостью .
Уравнение этой плоскости .
При из (5) получаем ; .
4. Так как точка лежит на прямой (4), которая перпендикулярна плоскости и пересекается с ней в точке , то для нахождения расстояния от точки до плоскости достаточно найти расстояние между точками и : .
Задача 3. Даны вершины пирамиды , , . Найти 1)угол между ребрами и ; 2) уравнение плоскости ; 3) уравнение и высоты, опущенной из вершины на грань ; 4) угол между ребром и гранью ; 5) площадь грани ; 6)объем пирамиды .
Решение.
1) Угол между ребрами и найдем, как угол между векторами. Выразим из формулы
=
Вычислим координаты вектора и :
= = ; = =
= ;
2) Уравнение плоскости найдем из равенства:
; ; ;
.
3) Уравнение высоты , опущенной из вершины на грань , составим по точке и направляющему вектору плоскости . Каноническое уравнение примет вид:
|
|
4) Вычислим координаты вектора :
.
Угол между ребром и гранью является дополнительным углом для угла , образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольника и ребром . . Для нахождения вычислим координаты векторного произведения векторов и :
;
.
.
;
; .
5) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонах и , т.е.
.
6)Объем пирамиды равен одной шестой от объема параллелепипеда, построенного на ребрах , и . Следовательно
.
Ответ: ; ; ; .
Задача 4. Привести уравнение к каноническому виду и построить график.
а) ; б) ; в) .
Решение а)
1. Группируем и
2. Выносим коэффициент при за скобку
3. В скобках выделяем полный квадрат
4. Раскрываем внешние скобки
5. Квадрат оставляем слева, а все остальное переносим вправо
6. Выносим коэффициент при за скобку
7. Делим обе части равенства на 2
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в т. . Ветви параболы направлены вправо.
Строим график.
В системе координат отмечаем точку и через нее проводим новые оси . Ось будет осью симметрии параболы. Найдем точки пересечения параболы с осями координат.
С осью :
; ; .
. Отмечаем ее в системе .
С осью :
; ;
Точек пересечения с осью нет.
Строим точку симметричную точке относительно оси . Через точки проводим параболу.
Решение б)
1. Группируем и
2. Выносим коэффициент при и за скобки
3. В каждой скобке выделяем полный квадрат
4. Раскрываем внешние скобки
5. Квадраты оставляем слева, а все остальное переносим вправо
6. Делим обе части равенства на 36
Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке . Ветви гиперболы направлены вправо-влево.
Действительная полуось , мнимая полуось
Фокусы расположены на оси .
Строим график.
1. В системе координат отмечаем точку и через нее проводим новые оси .
2. В системе координат от точки откладываем вправо и влево действительную полуось . Получаем точки и . Вверх и вниз откладываем мнимую полуось . Получаем точки и .
3. Через точки , , , проводим прямые, параллельные координатным осям. Получаем прямоугольник.
|
|
4. В прямоугольнике проводим диагонали и продолжаем их за прямоугольник. Эти прямые являются асимптотами гиперболы.
5. Из точек и проводим ветви гиперболы, приближая их к асимптотам.
Решение в)
1. Группируем и
2. Выносим коэффициент при и за скобки
3. В каждой скобке выделяем полный квадрат
4. Раскрываем внешние скобки
5. Квадраты оставляем слева, а все остальное переносим вправо
6. Делим обе части равенства на 1600
7. Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке
и полуосями и
Строим график.
1. В системе координат отмечаем точку и через нее проводим новые оси .
2. В системе координат от точки откладываем вправо и влево полуось . Получаем точки и . Вверх и вниз откладываем полуось . Получаем точки и .
3. Через точки , , , проводим прямые, параллельные координатным осям. Получаем прямоугольник.
4. Внутри прямоугольника строим эллипс.
Задача 5. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) найти уравнения данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;
2) по полученному уравнению определить, какая это линия;
3) построить линию.
Решение.
1) Изменяя значения угла от 0 до 2π через промежуток , зададим таблицу.
φ | |||||||||||||
r | 3,3(3) | 3,42 | 3,69 | 4,197 | 6,18 | 7,73 | 9,29 | 9,29 | 7,73 | 6,18 |
φ | ||||
r | 4,197 | 3,69 | 3,42 | 3,3(3) |
2) Полярные и декартовы системы координат взаимно связаны формулами:
; ; ;
Следовательно: ; .
умножим обе части равенства на
; ; ;
; ;
- уравнение задает эллипс.
Приведём его к каноническому виду:
;
;
;
разделим обе части равенства на
.
Следовательно, данное уравнение задаёт эллипс с центром в точке с координатами полуосями , .
Варианты РГР
Задание 1
Даны координаты вершин треугольника .
Найти: 1) длину стороны ; 2)уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3)угол в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты и ее длину; 5) уравнение медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой ; 6) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне ; 7) координаты точки , расположенной симметрично точке относительно прямой .
Номер варианта | Координаты | Координаты | Координаты |
(-8;-3) | (4;-12) | (8;10) | |
(-5;7) | (7;-2) | (11;20) | |
(-12;-1) | (0;-10) | (4;12) | |
(-10;9) | (2;0) | (6;22) | |
(0;2) | (12;-7) | (16;15) | |
(-9;6) | (3;-3) | (7;19) | |
(1;0) | (13;-9) | (17;13) | |
(-4;10) | (8;1) | (12;23) | |
(2;5) | (14;-4) | (18;18) | |
(-1;4) | (11;-5) | (15;17) | |
(-2;7) | (10;-2) | (8;12) | |
(-6;8) | (6;-1) | (4;13) | |
(3;6) | (15;-3) | (13;11) | |
(-10;5) | (2;-4) | (0;10) | |
(-4;12) | (8;3) | (6;17) | |
(-3;10) | (9;1) | (7;15) | |
(4;1) | (16;-8) | (14;6) | |
(-7;4) | (5;-5) | (3;9) | |
(0;3) | (12;-6) | (10;8) | |
(-5;9) | (7;0) | (5;14) | |
(-3;-2) | (-4;2) | (5;0) | |
(2;-2) | (-3;0) | (0;-2) | |
(5;4) | (-1;-2) | (3;-2) | |
(3;6) | (0;2) | (1;-2) | |
(1;-4) | (4;4) | (-1;2) | |
(4;6) | (7;2) | (-2;0) | |
(0;6) | (8;2) | (2;6) | |
(-2;4) | (0;-6) | (4;2) | |
(-4;-2) | (1;8) | (0;4) | |
(3;4) | (2;-4) | (5;6) |
Заданий 2
Даны координаты точек , , и
Найти: 1) уравнение плоскости , проходящей через точки , и ; 2) канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости ; 3)точки пересечения полученной с плоскостью и с координатными плоскостями , , ; 4) расстояние от точки до плоскости .
Номер варианта | Координаты А | Координаты В | Координаты С | Координаты | |
(-3;-2;-4) | (-4;2;-7) | (5;0;3) | (-1;3;0) | ||
(2;-2;1) | (-3;0;-5) | (0;-2;-1) | (-3;4;2) | ||
(5;4;1) | (-1;-2;-2) | (3;-2;2) | (-5;5;4) | ||
(3;6;-2) | (0;2;-3) | (1;-2;0) | (-7;6;6) | ||
(1;-4;1) | (4;4;0) | (-1;2;-4) | (-9;7;8) | ||
(4;6;-1) | (7;2;4) | (-2;0;-4) | (3;1;-4) | ||
(0;6;-5) | (8;2;5) | (2;6;-3) | (5;0;-6) | ||
(-2;4;-6) | (0;-6;1) | (4;2;1) | (7;-1;-8) | ||
(-4;-2;-5) | (1;8;-5) | (0;4;-4) | (9;-2;-10) | ||
(3;4;-1) | (2;-4;2) | (5;6;0) | (11;-3;-12) | ||
(2;-3;1) | (6;1;-1) | (4;8;-9) | (2;-1;2) | ||
(5;-1;-4) | (9;3;-6) | (7;10;-14) | (5;1;-3) | ||
(1;-4;0) | (5;0;-2) | (3;7;-10) | (1;-2;1) | ||
(-3;-6;2) | (1;-2;0) | (-1;5;-8) | (-3;-4;3) | ||
(-1;1;-5) | (3;5;-7) | (1;12;-15) | (-1;3;-4) | ||
(-4;2;-1) | (0;6;-3) | (-2;13;-11) | (-4;4;0) | ||
(0;4;3) | (4;8;1) | (2;15;-7) | (0;6;4) | ||
(-2;0;-2) | (2;4;-4) | (0;11;-12) | (-2;2;-1) | ||
(3;3;-3) | (7;7;-5) | (5;14;-13) | (3;5;-2) | ||
(4;-2;5) | (8;2;3) | (6;9;-5) | (4;0;6) | ||
(-5;0;1) | (-4;-2;3) | (6;2;11) | (3;4;9) | ||
(1;-4;0) | (2;-6;2) | (12;-2;10) | (9;0;8) | ||
(-1;-2;-8) | (0;-4;-6) | (10;0;2) | (7;2;0) | ||
(0;2;-10) | (1;0;-8) | (11;4;0) | (8;6;-2) | ||
(3;1;-2) | (4;-1;0) | (14;3;8) | (11;5;6) | ||
(-8;3;-1) | (-7;1;1) | (3;5;9) | (0;7;7) | ||
(2;-1;-4) | (3;-3;-2) | (13;1;6) | (10;3;4) | ||
(-4;5;-5) | (-3;3;-3) | (7;7;5) | (4;9;3) | ||
(-2;-3;2) | (-1;-5;4) | (9;-1;12) | (6;1;10) |
|